「代数学」とは何か？〜語源から歴史を紐解き、その気持ちを探る。〜

中学以来、我々に馴染みのある “数学” という学問ですが、ざっくりと

純粋数学
応用数学

に分けることができます。

特に純粋数学は、代数学・解析学・幾何学と呼ばれる三大分野からなると言われることがありますね。

本記事では、そのうちの一つである「代数学」に着目し “代数学とは一体何なのか” を

歴史的な観点
現代的な意味
学習者の視点
他の分野との関係

に分けて、今現在の私の解釈も踏まえて考えてゆこうと思います。

“algebra” の語源から歴史を紐解く
現代における代数学の広がり
代数学について考えるときの気持ち
他の分野との関係性について
1. 「解析学」との関係
2. 「幾何学」との関係
最後に

“algebra” の語源から歴史を紐解く

初めに、「歴史的な観点」について見てゆきます。

代数学が何を以て誕生し、どのように発展してきたかを知ることは、代数学という分野の基本的な考え方、その心を知ることに繋がるでしょう。そのために「代数学」という言葉の語源を見てみたいと思います。

日本語では「代数学」と言いますが、英語では “algebra”（アルジェブラ）と言います。

西暦820年、イスラム科学者である アル＝フワーリズミー が著した数学書で用いられたアラビア語 “al-jabr”（アル＝ジャブル）は「移項する」という意味を持っており、「バラバラなものを再結合する」という意味のアラビア語 “jabara” が基になっている語です。

この数学書によって、代数学が幾何学などに依存しない形で一つの分野として独立しました。

それがヨーロッパに伝わるとアラビア語の “al-jabr” が分野名として使われるようになり、それが約500年間に渡って大学で教えられたそうです。

西暦1800年代にそれが中国語に翻訳されることになりますが、それまでの発展によって、方程式などに代表されるような「数の代わりに文字を扱う分野」となったことから、その特徴を以ってして 【代数】 という文字が採用されました。

このようにして生まれた「代数学」という言葉ですが、西暦1900年代になると “ガロア理論” などに代表されるような抽象的代数学までも意味するようになります。

「代数学」という言葉は移項という計算規則から始まり、方程式という文字を扱った理論を経て、抽象代数学という公理的に特徴付けられた “代数的構造” に関する学問まで意味する範囲が拡張されてきたのでした。

現代における代数学の広がり

次に、「現代的な意味」について見てゆきます。

現代における代数学とは、前述の “抽象代数学” を意味することが多いです。数というモノに対しては「加法」や「乗法」が定義されていて、これらを数の演算と呼びます。このように、“対象とする「モノ」といくつかの「演算」をセットにして考えよう” というのが抽象代数学の考え方です。

議論する上で、その「モノ」が何であるかは全く関係ありません！
その「演算」も公理さえ満たせば何でも良いです！

そんな、極めて抽象的な状態で議論が進んでゆく代数学ですが、それが抽象的であるということは、理論を適用できる範囲が広いということを意味します。

高校数学まででも、

「モノ」の候補としては整数や実数などの数、関数、ベクトル、数列、行列、曲線などがあります。
「演算」の候補としては数の四則演算が代表的ですが、ベクトルの加法や行列の乗法など、様々なものに対して新しい「加法」や「乗法」を定義することがあります。

様々な「モノ」と「演算」がありますが、大学以降の数学では新しい概念が沢山登場するので、至る所で「モノ」と「演算」が出現するのです！

研究対象には、その “構造のタイプ” によって名前が付いていて、例えば

群：加法や乗法といった演算が一つあるもの。
環：加法と乗法のように演算が二つあるもの。
体：環に対して公理を追加し、構造を豊かにしたもの。

その他にも

ベクトル空間：加法とスカラー乗法のように演算が二種類あるもの。
代数：ベクトル空間にかけ算を追加したもの。
リー代数：代数に対して公理を追加し、構造を豊かにしたもの。

などがあります。これらは代数的構造の例ですので、各々についてさらに具体例が存在します。詳しくは述べませんが、

整数全体 $\mathbb{Z}$ は加法と乗法を演算として「環」をなします！
実数全体 $\mathbb{R}$ は加法と乗法を演算として「体」をなします！！
高校で習う（幾何学的）ベクトル全体は加法と定数倍を演算として「ベクトル空間」をなします！！！

ちなみに私は、大学の卒業研究では可換環論（上記の「環」の乗法が常に交換可能であるようなものに関する理論）について扱い、修士論文はリー代数の分類定理に関するテーマを取り上げました。

代数学について考えるときの気持ち

最後に、「学習者の視点」について見てゆきます。

時にはモノが何であるかも忘れ、最低限のルールしかない演算による代数的構造について研究する代数学ですが…

“何を考えながら” 学習・研究を進めれば良いのでしょうか？
“どのような気持ちで” 研究対象に向き合っているのでしょうか？

「代数学」は多くの具体例を抱えつつもその構造に焦点を当てているので

研究対象自身の構造の複雑さを調べたり、同種の構造を持つものと構造の比較をしたりするのです！

少し数学らしく言い換えると、研究対象をまとめて $X$ としたとき、$$X\to X$$ という “対応” を意識しながら研究することになります。

同類のもの、或いは、自分自身を構成する「モノ」の対応を調べることで、その構造を探るのです！

例えば、その対応の中には「同型写像」と呼ばれる特別な対応があって、これがあれば「モノ」が別物でも “構造は本質的に同じと見做せる” のです！！

つまり、この同型写像が存在する条件を明らかにすることが、まさに “何を同一視するか” を決定することになるので

研究対象を構造に着目して分類すること

に繋がるのです！！！

また、同型写像に準ずるものとして「準同型写像」と呼ばれる対応もありますが、こちらは完全な対応ではないので、そのまま分類を与えることはできません…。しかし、それを用いて対象を分類しようとする過程で、“どのような違いを無視すれば分類できるのか” ということを考えることになるので

研究対象の違いを生む構造的な性質

についても関心を向けています。端的に言えば、各々の構造に注目しつつ

“同じ” とは何か？
“違う” とは何か？

について考えています。

他の分野との関係性について

純粋数学には、他に「解析学」と「幾何学」という分野があると紹介しました。

それらについても、簡単にではありますが代数学との関わりに着目して触れておきたいと思います。

あくまで私の理解の範囲ですので、もちろんですが全てに言及することはできません。他の例などありましたら、本ページ最下部よりコメントをいただけると皆の学びになるので嬉しいです！

少し具体的な数学の話になるので、読み飛ばしていただいても構いません。また、以下のような話をもっと聞きたい場合も、コメントをいただけると参考になります！

「解析学」との関係

今回は微分方程式の解空間を例に挙げようと思います。

解析学の大きなテーマとして「関数や関数値の変化などについて着目し、問題を解決したい！」というものがあります。

解析学の基本となる分野としては高校以来扱っている微分積分のイメージで良いと思います。現実世界の現象を数理モデル化して解析したいという物理学と近しい考え方も持っています。

数ではなく、そんな研究対象である関数を解に持つ方程式で、微分を用いて関係性を表現されたものを “微分方程式” と呼びます。微分方程式が与えられたとき、もちろん

その微分方程式を解きたい！
解である関数が何者かを決定したい！

となるわけですが、そこで（線型）代数学の考えを用いると見通し良く論じることができるのです！

例えば、$$\frac{d^2y}{dx^2}=-y$$ という微分方程式が与えられたとします。（例えば、$y=0$ という定数関数は解になりますね。）

関数 $y_1$ と $y_2$ が共に解であるならば、その和 $y_1+y_2$ も必ず解になります。
関数 $y$ が解であるならば、その定数倍 $cy$ をいくら考えても必ず解になります。

よって、この微分方程式の解を全て集めた集合は、この二つの性質から “ベクトル空間” をなすことがわかるのです。

さらに、$\displaystyle \left(\frac{d}{dx}\right)^2$ があることから、それは “ $2$ 次元” であることがわかるので、“基底” と呼ばれる関数を $2$ 個みつけられれば全ての解を記述できることが線型代数学の知識からわかるのです！

具体的に例えば、$y=\cos x$ や $y=\sin x$ は $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-y$ を満足するので解になりますが、これは “基底” をなします。これより、全ての解は $$y=A\cos x+B\sin x$$ と書くことができます！！（但し、$A$ と $B$ は任意の定数をとるものとします。）

「幾何学」との関係

こちらはリー群・リー代数を例に挙げようと思います。

幾何学の大きなテーマとして「空間上にある対象や空間自体の曲がり方や穴の数などの性質について着目し、問題を解決したい！」というものがあります。

生活を送る上での長さ・面積・体積、角度などの測量の必要性から発達した、高校までで学ぶような図形を扱うものが発端となっています。現在では、我々の目には見えないような空間を含めて扱う様々な分野・理論へ分岐して発展しています。

高校や大学初学年あたりまでの微分積分学は、直交座標を考えて議論していると思います。直交座標なので、直感的に言えば “真っ直ぐ” なわけですが、幾何学らしく“滑らかに曲がっていたら” どうしましょうか？

みなさん、我々が海水浴に行って、そこら辺に落ちているワカメを使って砂浜に真っ直ぐな線を書いた状況をイメージしてください。

みなさんは真っ直ぐに書いたつもりですから、それを「真っ直ぐだ！」と言っても問題ありませんよね？

しかし、地球を滑らかな球であると思うと、その線は地球の表面に書いている限りは絶対に曲がっているはずなのです。

それでも、我々は「局所的にしか見ていないため真っ直ぐと見做して問題ない」のです。

少し前置きが長くなりましたが、幾何学が相手にしている対象のうち、地球やドーナツのような滑らかに曲がっているものは局所的に見れば直線的であると言えて、そこでは我々の知っている微分積分学を展開できます。そのような対象を “可微分多様体” と呼びます。さらに、可微分多様体の構造と両立するような演算を持ち合わせたものを、特に “リー群” と呼ぶのです。

リー群の研究をするには、曲がったものの性質を論じるため、幾何学的な考察が必要です。しかし、先ほどの “局所的に見れば直線的である” という考えから…

「局所的に見れば…」
直感的に言い換えると
「めちゃくちゃズームインすれば…」
直交座標の上で展開されていた線型代数学の知識が使えるのです！！

文字だらけになってしまっているので詳細を述べるのは避けますが、幾何的考察を要した曲がったリー群を、局所的に真っ直ぐであると見做すことによって、その対応する平面に情報が上手く遺伝して代数的考察が可能となるのです。

そのリー群に対応する代数学的な考察対象が “リー代数” なのでした。