【コーシーの積分定理・留数定理】例題120問！実積分への応用を紹介。

本記事では、複素積分に関する「コーシーの積分定理」や「留数定理」の実積分への応用の例題一覧を公開しています。

複素関数論の講義の復習、期末試験やレポート、院試対策等に是非お役立てください！

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解説動画のある52問！
個別に解説記事も公開中！
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解説動画のある52問！

コーシーの積分定理

問題

\(\displaystyle \int_0^\infty\cos x^2dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\), \(\displaystyle \int_0^\infty\sin x^2dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)（フレネル積分）
→ 解説動画 #05
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}\)（ディリクレ積分）
→ 解説動画 #01
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x^2}{x}dx=\frac{\pi}{4}\)
→ 解説動画 #11
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x^3}{x}dx=\frac{\pi}{6}\)
→ 解説動画 #25
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x^n}{x}dx=\frac{\pi}{2n}\)（\(n=1,2,\cdots\)）
→ 解説動画 #36
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x^\alpha}{x}dx=\frac{\pi}{2|\alpha|}\)（\(\alpha\neq0\)）
→ 解説動画 #47
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2dx=\frac{\pi}{2}\)
→ 解説動画 #18
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\left(\frac{\sin x}{x}\right)^3dx=\frac{3}{8}\pi\)
→ 解説動画 #32
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\left(\frac{\sin x}{x}\right)^4dx=\frac{\pi}{3}\)
→ 解説動画 #44
　
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos(2\beta x)dx=\sqrt{\pi}e^{-\beta^2}\), \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty xe^{-x^2}\sin(2\beta x)dx=\sqrt{\pi}\beta e^{-\beta^2}\)
→ 解説動画 #35
　
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin(2\alpha x)}{\sinh x}dx=\frac{\pi}{2}\tanh(\pi\alpha)\), \(\displaystyle \int_0^\infty \frac{x\cos(2\alpha x)}{\sinh x}dx=\frac{\pi^2}{4\cosh^2(\pi\alpha)}\)（\(\alpha\neq0\)）
→ 解説動画 #42

留数定理（三角関数）

問題

\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta d\theta=\frac{{}_{2n}{\rm C}_{n}}{2^{2n-1}}\pi\)（\(n=0,1,\cdots\)）
→ 解説動画 #19
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^{2n}\theta d\theta=\frac{{}_{2n}{\rm C}_{n}}{2^{2n-1}}\pi\)（\(n=0,1,\cdots\)）
→ 解説動画 #37
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{1}{5+3\cos\theta}d\theta=\frac{\pi}{2}\)
→ 解説動画 #02
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{1}{5-4\cos\theta}d\theta=\frac{2}{3}\pi\)
→ 解説動画 #15
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{1}{13+5\cos\theta}d\theta=\frac{\pi}{6}\)
→ 解説動画 #26
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{1}{13-12\cos\theta}d\theta=\frac{2}{5}\pi\)
→ 解説動画 #33
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{1}{1-2a\cos\theta+a^2}d\theta=\frac{2\pi}{1-a^2}\)（\(|a|<1\)）
→ 解説動画 #23
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{1}{a+b\cos\theta}d\theta=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\)（\(0<|b|<a\)）
→ 解説動画 #45
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{1}{(5+3\cos\theta)^2}d\theta=\frac{5}{32}\pi\)
→ 解説動画 #06
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{1}{(a+b\cos\theta)^3}d\theta\)\(\displaystyle\ =\frac{2a^2+b^2}{\sqrt{(a^2-b^2)^5}}\pi\)（\(0<|b|<a\)）
→ 解説動画 #52
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{\sin\theta}{1-2a\sin\theta+a^2}d\theta=\frac{2a}{1-a^2}\pi\)（\(|a|<1\)）
→ 解説動画 #48
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{\cos^2\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}d\theta=\frac{1+a^2}{1-a^2}\pi\)（\(|a|<1\)）
→ 解説動画 #40
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{\cos2\theta}{2-\sqrt{3}\cos\theta}d\theta=\frac{2}{3}\pi\)
→ 解説動画 #12
　
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{\cos3\theta}{5-4\cos\theta}d\theta=\frac{\pi}{12}\)
→ 解説動画 #29

留数定理（有理式）

問題

\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{x^2-3x+5}{x^4+13x^2+36}dx=\frac{11}{30}\pi\)
→ 解説動画 #07
　
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi}{a}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #03
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{x^3+a^3}dx=\frac{2\sqrt{3}}{9a^2}\pi\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #16
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{x^4+a^4}dx=\frac{\sqrt{2}}{4a^3}\pi\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #30
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{x^6+a^6}dx=\frac{\pi}{3a^5}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #41
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{x^n+a^n}dx=\frac{\frac{\pi}{n}}{a^{n-1}\sin\frac{\pi}{n}}\)（\(a>0, n=2,3,\cdots\)）
→ 解説動画 #49
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x}{x^3+a^3}dx=\frac{2\sqrt{3}}{9a}\pi\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #20
　
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(x^2+a^2)^2}dx=\frac{\pi}{2a^3}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #13
　
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(x^2+a^2)^3}dx=\frac{3}{8a^5}\pi\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #24
　
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(x^2+a^2)^{m+1}}dx\)\(\displaystyle\ =\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\frac{\pi}{a^{2m+1}}\)（\(a>0, m=0,1,\cdots\)）
→ 解説動画 #38
　
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{x^2}{(x^2+a^2)^3}dx=\frac{\pi}{8a^3}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #34
　
\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{x^4}{(x^2+a^2)^4}dx=\frac{\pi}{16a^3}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #46

留数定理（三角関数×有理式）

問題

\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{e}\)
→ 解説動画 #04
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi}{2a}e^{-a}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #28
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x\sin x}{x^2+a^2}dx=\frac{\pi}{2}e^{-a}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #51
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x\sin x}{(x^2+a^2)^2}dx=\frac{\pi}{4a}e^{-a}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #21
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\cos x\sin x}{x(x^2+a^2)}dx=\frac{\pi}{4a^2}\left(1-e^{-2a}\right)\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #14
　
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x\cosh x}dx=\arctan\left(\sinh\frac{\pi}{2}\right)\)
→ 解説動画 #09

留数定理（無理式）

問題

\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}dx=\pi\)
→ 解説動画 #08
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{(x+1)\sqrt[3]{x}}dx=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi\)
→ 解説動画 #17
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{(x+1)\sqrt[4]{x}}dx=\sqrt{2}\pi\)
→ 解説動画 #27
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{(x+1)\sqrt[6]{x}}dx=2\pi\)
→ 解説動画 #39
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x^{\alpha-1}}{x+1}dx=\frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)}\)（\(0<\alpha<1\)）
→ 解説動画 #50

留数定理（対数関数）

問題

\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\log x}{x^2+a^2}dx=\frac{\log a}{2a}\pi\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #10
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{(\log x)^2}{x^2+a^2}dx=\frac{4(\log a)^2+\pi^2}{8a}\pi\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #31
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\log x}{(x+a)^2}dx=\frac{\log a}{a}\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #22
　
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\log x}{(x+a)(x^2+a^2)}dx\)\(\displaystyle\ =\frac{4\log a-\pi}{16a^2}\pi\)（\(a>0\)）
→ 解説動画 #43