【留数定理の応用】 (cos x)/(x^2+1) 〜三角関数×有理式〜

みなさん、こんにちは。

今回は「今週の実積分」より、次の問題を解いてゆきたいと思います。

今週の実積分 #04

次の広義積分の値を求めよ。

$$I=\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{x^2+1}dx$$

複素積分に関する「コーシーの積分定理」や「留数定理」の実積分への応用の例題は以下の記事にまとめてゆく予定です。

複素関数論の講義の復習、期末試験やレポート、院試対策等に是非お役立て下さい！

積分値だけ知りたい！

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{x^2+1}dx=\frac{\pi}{e}$$

【解答例】
解説動画の紹介

【解答例】

関数 $f(z)$ と経路 $\Gamma$ の設定

まず、$$f(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+1}$$ とし、積分経路として半径 $R$ の上半円 $\Gamma$ を考える。

この関数と積分経路にする気持ちは...

まず、関数 $f(z)$ を素直に
$$f(z)=\frac{\cos z}{z^2+1}$$と設定してしまうと、$z$ の値によっては三角関数の処理が難しくなりそうです。そこで、オイラーの公式
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$を念頭に置いて
$$f(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+1}$$と定めてみようと思います。気持ちとしては、分子の $z$ が実数 $x$ であった場合の実部に相当する部分から、被積分関数
$$\frac{\cos x}{x^2+1}$$を得たいという思いです。（分母が偶関数であることもポイントです。）

一方、直交座標での重積分で長方形
$$\{\ (x,y) \mid a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\ \}$$が扱いやすかったように、極座標（極形式）ではバウムクーヘンを切った形（中心が埋まった扇形も含む）
$$\{\ (r\cos\theta,r\sin\theta) \mid s\leq r\leq t ,\ \alpha\leq \theta\leq \beta\ \}$$が扱いやすいです。

関数 $f(z)$ の狙いから、積分経路は実軸との共通部分が原点に関して対称であり、極限をとることで実軸全体に広がってゆくものにしたいです。例えば、上記のような上半円の積分経路が考えられます。（原点を除く必要はありません。）

まず、各経路 $\Gamma_1$，$\Gamma_2$ 上での積分値を個別に考えてゆきます！

各 $\Gamma_k$ 上で積分値を計算

$\Gamma_1$ 上の積分値について

$\Gamma_1$ 上において、$z=x$ と置換すると $$dz=dx$$ であるので

\begin{align}
\int_{\Gamma_1}f(z)dz
&=\int_{-R}^Rf(x)dx\\
&=\int_{-R}^R\frac{\cos x+i\sin x}{x^2+1}dx\\
&=\int_{-R}^R\frac{\cos x}{x^2+1}dx+i\int_{-R}^R\frac{\sin x}{x^2+1}dx\\
&=\int_{-R}^R\frac{\cos x}{x^2+1}dx
\end{align}

より
\begin{align}
\int_{\Gamma_1}f(z)dz\to I\quad(R\to\infty)\tag{1}
\end{align}となる。

$\Gamma_2$ 上の積分値について

$\Gamma_2$ 上において、$z=Re^{i\theta}$ とおくと $$dz=iRe^{i\theta}d\theta$$ であるので

\begin{align}
\int_{\Gamma_2}f(z)dz
&=\int_0^\pi f(Re^{i\theta})iRe^{i\theta}d\theta\\
&=iR\int_0^\pi \frac{e^{Rie^{i\theta}}e^{i\theta}}{R^2e^{2i\theta}+1}d\theta\\
&=iR\int_0^\pi \frac{e^{-R\sin\theta}e^{iR\cos\theta}e^{i\theta}}{R^2e^{2i\theta}+1}d\theta
\end{align}

である。

よって、$R$ を十分大きくとると

\begin{align}
\left|\int_{\Gamma_2}f(z)dz\right|
&\leq R\int_0^\pi \frac{|e^{-R\sin\theta}e^{iR\cos\theta}e^{i\theta}|}{|R^2e^{2i\theta}+1|}d\theta\\
&\leq R\int_0^\pi \frac{e^{-R\sin\theta}}{R^2-1}d\theta\\
&=\frac{2R}{R^2-1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\sin\theta}d\theta
\end{align}

が成り立つ。

ここで、$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ において $$\frac{2}{\pi}\theta\leq\sin\theta$$ である（ジョルダンの不等式）ので
\begin{align}
\left|\int_{\Gamma_2}f(z)dz\right|
&\leq\frac{2R}{R^2-1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{2R}{\pi}\theta}d\theta\\
&=\frac{2R}{R^2-1}\left[-\frac{\pi}{2R}e^{-\frac{2R}{\pi}\theta}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\
&=\pi\frac{1-e^{-R}}{R^2-1}\\
&\to0\qquad(R\to\infty)
\end{align}すなわち
\begin{align}
\int_{\Gamma_2}f(z)dz\to0\quad(R\to\infty)\tag{2}
\end{align}となる。

一方、経路 $\Gamma$ 全体で考えると、留数定理を適用することができます！

$\Gamma$ 上で「留数定理」を適用

さて、十分大きな $R$ について、関数 $f(z)$ は閉曲線 $\Gamma$ の囲む領域の内部に孤立特異点 $z=i$ を持ち、それ以外で正則である。これは $1$ 位の極なので、留数定理（Residue theorem）より
\begin{align}
\oint_\Gamma f(z)dz
&=2\pi i\ \underset{z=i}{\rm Res}f(z)\\
&=2\pi i\lim_{z\to i}\frac{e^{iz}}{z+i}\\
&=2\pi i\frac{1}{2ei}\\
&=\frac{\pi}{e}
\end{align}すなわち
\begin{align}
\int_{\Gamma_1}f(z)dz+\int_{\Gamma_2}f(z)dz=\frac{\pi}{e}\tag{3}
\end{align}が成り立つ。

留数の計算は大丈夫ですか？

関数 $\displaystyle f(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+1}$ が $1$ 位の極 $i$ の周りで
\begin{align}
f(z)
&=\sum_{n=-1}^{\infty} a_n(z-i)^n\\
&=\frac{a_{-1}}{z-i}+a_0+a_1(z-i)+\cdots
\end{align}とローラン展開できたとすると、$z=i$ における留数は
$$\underset{z=i}{\rm Res}f(z)=a_{-1}$$によって求めることがきます。具体的に、ローラン展開から係数 $a_{-1}$ を抽出するには