【コーシーの積分定理の応用】 cos(x^2), sin(x^2) 「フレネル積分」

みなさん、こんにちは。

今回は「今週の実積分」より、次の問題を解いてゆきたいと思います。

今週の実積分 #05

次の広義積分の値を求めよ。

\begin{align}
I&=\int_0^\infty\cos x^2 dx,\\
J&=\int_0^\infty\sin x^2 dx
\end{align}

※この広義積分は フレネル積分（Fresnel integral）と呼ばれます。

複素積分に関する「コーシーの積分定理」や「留数定理」の実積分への応用の例題は以下の記事にまとめています。

複素関数論の講義の復習、期末試験やレポート、院試対策等に是非お役立て下さい！

積分値だけ知りたい！

$$\int_0^\infty\cos x^2 dx=\int_0^\infty\sin x^2 dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$

【解答例】
解説動画の紹介

【解答例】

関数 $f(z)$ と経路 $\Gamma$ の設定

まず、$$f(z)=e^{iz^2}$$ とし、積分経路として半径 $R$ で中心角 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ の扇形の閉曲線 $\Gamma$ を考える。

この関数と積分経路にする気持ちは...

まず、関数 $f(z)$ を素直に
$$f(z)=\cos z^2$$などと設定してしまうと、$z$ の値によっては三角関数の処理が難しくなりそうです。そこで、オイラーの公式
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$を念頭に置いて $f(z)=\frac{e^{iz^2}+e^{-iz^2}}{2}$ しても良いですが、$I$ だけでなく $J$ もあるので $$f(z)=e^{iz^2}$$ と定めてみようと思います。気持ちとしては、分子の $z$ が実数 $x$ であった場合の実部と虚部に相当する部分から、被積分関数を得たいという思いです。

一方、直交座標での重積分で長方形
$$\{\ (x,y) \mid a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\ \}$$が扱いやすかったように、極座標（極形式）ではバウムクーヘンを切った形（中心が埋まった扇形も含む）
$$\{\ (r\cos\theta,r\sin\theta) \mid s\leq r\leq t ,\ \alpha\leq \theta\leq \beta\ \}$$が扱いやすいです。

扇形の中心角について、今回は $\int_0^\infty e^{ix^2} dx$ はすぐにわからないが $\int_0^\infty e^{-x^2} dx$ はGauss積分という有名な積分になります。ここで、$$iz^2=-x^2$$ となる置換として、例えば $$z=xe^{\frac{\pi}{4}i}$$ を考えます。この置換をしたいので、中心角は $\frac{\pi}{4}$ とします。

まず、各経路 $\Gamma_1$，$\Gamma_2$，$\Gamma_3$ 上での積分値を個別に考えてゆきます！

各 $\Gamma_k$ 上で積分値を計算

$\Gamma_1$ 上の積分値について

$\Gamma_1$ 上において、$z=x$ と置換すると $dz=dx$ であるので

\begin{align}
&\int_{\Gamma_1}f(z)dz\\
&\quad=\int_0^Re^{ix^2}dx\\
&\quad=\int_0^R(\cos x^2+i\sin x^2)dx\\
&\quad=\int_0^R\cos x^2dx+i\int_0^R\sin x^2dx\\
&\quad\to I+iJ\qquad(R\to\infty)\tag{1}
\end{align}

となる。

$\Gamma_2$ 上の積分値について

$\Gamma_2$ 上において、$z=Re^{i\theta}$ と置換すると $dz=iRe^{i\theta}d\theta$ であるので

\begin{align}
\int_{\Gamma_2}f(z)dz
&=\int_0^{\frac{\pi}{4}} e^{iR^2e^{2i\theta}}iRe^{i\theta}d\theta\\
&=iR\int_0^{\frac{\pi}{4}} e^{iR^2\cos2\theta}e^{-R^2\sin2\theta}e^{i\theta}d\theta
\end{align}

となる。

よって、

\begin{align}
\left|\int_{\Gamma_2}f(z)dz\right|
&\leq R\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left|e^{iR^2\cos2\theta}e^{-R^2\sin2\theta}e^{i\theta}\right|d\theta\\
&=R\int_0^{\frac{\pi}{4}}e^{-R^2\sin2\theta}d\theta
\end{align}

である。

ここで、$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$ において $$\frac{4}{\pi}\theta\leq\sin2\theta$$ である（ジョルダンの不等式）ので
\begin{align}
\left|\int_{\Gamma_2}f(z)dz\right|
&\leq R\int_0^{\frac{\pi}{4}} e^{-\frac{4R^2}{\pi}\theta}d\theta\\
&=R\left[-\frac{\pi}{4R^2}e^{-\frac{4R^2}{\pi}\theta}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\\
&=\pi\frac{1-e^{-R^2}}{4R}\\
&\to0\qquad(R\to\infty)
\end{align}すなわち
\begin{align}
\int_{\Gamma_2}f(z)dz\to0\quad(R\to\infty)\tag{2}
\end{align}となる。

$\Gamma_3$ 上の積分値について

$\Gamma_3$ 上において、$z=xe^{\frac{\pi}{4}i}$ と置換すると $dz=e^{\frac{\pi}{4}i}dx$ であるので
\begin{align}
\int_{\Gamma_3}f(z)dz
&=\int_R^0 e^{-x^2}e^{\frac{\pi}{4}i}dx\\
&=-e^{\frac{\pi}{4}i}\int_0^R e^{-x^2}dx
\end{align}となる。ここで、Gauss積分より $$\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$ であるので

\begin{align}
\int_{\Gamma_3}f(z)dz\to-\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{\frac{\pi}{4}i}\quad(R\to\infty)\tag{3}
\end{align}

となる。

一方、経路 $\Gamma$ 全体で考えると、あの定理を適用することができます！

$\Gamma$ 上で「積分定理」を適用

さて、関数 $f(z)$ は閉曲線 $\Gamma$ の囲む領域の境界と内部で正則なので、コーシーの積分定理（Cauchy’s integral theorem）より
\begin{align}
\oint_\Gamma f(z)dz=0
\end{align}すなわち

\begin{align}
\int_{\Gamma_1}f(z)dz+\int_{\Gamma_2}f(z)dz+\int_{\Gamma_3}f(z)dz=0\tag{4}
\end{align}

が成り立つ。

さあ、準備は整いましたね！

極限をとり積分値 $I$ を得る

式 (4) において極限 $\varepsilon\to+0$，$R\to\infty$ を考えると、式 (1)、(2)、(3) より
\begin{align}
(I+iJ)+0+\left(-\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{\frac{\pi}{4}i}\right)=0
\end{align}すなわち
\begin{align}
I=J=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\end{align}を得る。

これで求めたい積分値を得ることができました。

お疲れ様でした！！