【ネイピア数 e は無理数】割り切れるか背理法で証明！自然対数の底を定義する。

円周率 $\pi$ の無理性を証明したこちらの記事に関連して、今回はネイピア数 $e$ の無理性を証明したいと思います。

前半でネイピア数 $e$ の様々な定義について述べてから、後半で証明を行います。証明だけ見たいという方は、リンクになっている以下の目次から後半に飛んでご覧ください。

それでは早速、参りましょう！

ネイピア数 $e$ の様々な定義たち
無理性の証明
最後に

ネイピア数 $e$ の様々な定義たち

高校数学で習う定義

高校数学では以下の式で実数 $e$ を定めることが多いです。

$$e=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}$$

大抵は、具体的な計算から $h\to0$ のときに $(1+h)^{\frac{1}{h}}$ が一定の値に近づくと予想します。そして、実際に「それがある値 $e$ に収束すること」が事実として紹介されるのです。確かに、これを高校数学の範囲で説明するのは不可能ですが、一歩、二歩くらいは核心に近づいてみましょう。

簡単のため、極限 $h\to0$ の近づき方を $\displaystyle h=\frac{1}{n}$ ($n=1,2,\cdots$) に則したものに制限してみます。そうすると

$$\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

が成り立ちます。つまり、$\displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ によって定まる数列 $\{a_n\}$ の収束性に関して考えれば良いのです。

ここで、直感的には明らかですが数学的に重要な事実をご紹介します。

実数からなる数列が超えることのない数があり、かつ、単調に増加するならば、その数列は何かしらの実数に収束する。

ここでは省略しますが、上記の数列 $\{a_n\}$ に関しては、例えば、二項定理を用いることで仮定を満たすことを示せますので、ぜひチャレンジしてみてください。これにより、数列 $\{a_n\}$ が収束すること、すなわち、その極限値 $e$ が定義できることがわかるのです。

対数関数の導関数による定義

高校数学において、$e$ はネイピア数ではなく「自然対数の底」と呼ばれます。対数の「自然さ」をどう考えたかというと、それは導関数が簡潔であることです。

実際に、対数関数 $y=\log_ax$ の導関数を定義通りに計算してゆくと

\begin{align}
y^\prime
&=\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{1}{x}\log_a\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}
\end{align}

ここで、 $\displaystyle \frac{h}{x}$ を改めて $h$ とおくと

\begin{align}
y^\prime
&=\lim_{h\to0}\frac{1}{x}\log_a\left(1+h\right)^\frac{1}{h}\\
&=\frac{1}{x}\log_ae
\end{align}

となります。

さて、これを簡潔にする対数の底 $a$ は何かというと、真数となっているネイピア数 $e$ ですね。これより自然対数の微分公式

$$(\log_ex)^\prime=\frac{1}{x}$$

を得るのです。以上より、ネイピア数 $e$ は

$$(\log_ax)^\prime=\frac{1}{x}$$

なる $a$ として定義することができます。

指数関数の導関数による定義

$y=f(x)=a^x$ とおくと、上で見た対数の微分公式 $\displaystyle \frac{d}{dy}\log_ay=\frac{1}{y}\log_ae$ について

\begin{align}
\frac{d}{dy}\log_ay&=\frac{1}{y}\log_ae\\
\frac{d}{dy}f^{-1}(y)&=\frac{1}{y}\log_ae\\
\frac{1}{\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)}&=\frac{1}{y\log_ea}\\
\frac{d}{dx}f(x)&=y\log_ea\\
\frac{d}{dx}a^x&=a^x\log_ea
\end{align}

と変形することができるので、ネイピア数 $e$ は

$$\frac{d}{dx}a^x=a^x$$

なる $a$ として定義することもできます。

マクローリン展開による定義

指数関数 $f(x)=e^x$ が無限次の多項式

$$f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots$$

で表されているとしましょう。このとき、

多項式は $0$ を代入すると定数項を抽出できる
多項式は微分すると係数が１個ずつずれる

という考えから、何回か微分して $0$ を代入するという操作を行なってみます。そうすると

\begin{align}
f(0)&=a_0\\
f^\prime(0)&=a_1\\
f^{\prime\prime}(0)&=2a_2\\
f^{(3)}(0)&=3!a_3\\
f^{(4)}(0)&=4!a_4\\
&\vdots\\
f^{(n)}(0)&=n!a_n\\
&\vdots
\end{align}

となります。よって、一般に $$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$ が成り立つのです。これより、

$$f(x)=f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots$$

を得ます。

今、$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=f(x)$ かつ $f(0)=e^0=1$ ですから、何次の微分係数 $f^{(n)}(0)$ も全て $1$ で

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

となります。（逆に、任意の $x$ に対して級数 $\displaystyle 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$ が収束することが示されます。）

以上より、

\begin{align}
e
=e^1
=f(1)
=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\cdots
\end{align}

すなわち

$$e=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}$$

によってネイピア数 $e$ を定義することができるのです。

無理性の証明

ここまで、ネイピア数 $e$ の様々な定義を説明してきましたが、以下では直前に見たマクローリン展開による

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots$$

を採用することとします。

ネイピア数 $e$ が無理数であることの証明

背理法で示す。

実数であるネイピア数 $e$ が有理数であると仮定すると、整数 $m,n$（但し、$n>0$）を用いて

$$e=\frac{m}{n}$$

と書くことができる。ネイピア数 $e$ の定義式の各項を、分母が $n!$ より大きいか否かで区別してみると

\begin{align}
\frac{m}{n}
&=\left[1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right]\\
&\quad+\left[\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{(n+3)!}+\cdots\right]
\end{align}

となる。この両辺に $n!$ をかけてみると

\begin{align}
n!\times\frac{m}{n}
&=\left[n!+\frac{n!}{1!}+\cdots+\frac{n!}{n!}\right]\\
&\quad+\left[\frac{n!}{(n+1)!}+\frac{n!}{(n+2)!}+\frac{n!}{(n+3)!}+\cdots\right]
\end{align}

すなわち

\begin{align}
m(n-1)!
&=\left[n!+\frac{n!}{1!}+\cdots+\frac{n!}{n!}\right]\\
&\quad+\left[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots\right]
\end{align}

が成り立つ。

ここで、左辺の $m(n-1)!$ 及び右辺の $n!$, $\displaystyle \frac{n!}{1!}$, $\cdots$, $\displaystyle \frac{n!}{n!}$ は全て整数であるので

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots$$

は正の整数になるはずである。一方で、$n$ が正の整数であることから

\begin{align}
&\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots\\
&\quad\leq\frac{1}{1+1}+\frac{1}{(1+1)(1+2)}+\frac{1}{(1+1)(1+2)(1+3)}+\cdots\\
&\quad<\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots\\
&\quad=1
\end{align}

となり $1$ より小さくなってしまう。

$1$ 未満の正の整数は存在しないので、これは矛盾である。よって、実数であるネイピア数 $e$ は有理数ではない。すなわち、無理数である。