微分積分学 【ネイピア数 e は無理数】割り切れるか背理法で証明！自然対数の底を定義する。
今回は「ネイピア数 e が無理数であること」を証明したいと思います。自然対数の底とも呼ばれる e ですが、その背景にもなっている複数の定義に触れ、最終的にマクローリン展開を用いた定義を用いて証明を行います。
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微分積分学 
高校数学+α 【i^i】iのi乗は実数？虚数？それとも…。指数を拡張し、証明せよ！
今回は、虚数単位 i の i 乗である i^i の値に着目したいと思います。高校数学では扱わない冪乗の計算ですが、この計算結果は
１複素数ではなくなる。
２虚数となる。
３実数となる。
のうちどれになると思いますか？
高校数学+α 【(-1)×(-1)=1の証明】なぜ「マイナス×マイナス＝プラス」か説明せよ。
今回は、マイナス×マイナス＝プラスという主張の基礎となる (-1)×(-1)=1 という数式を、環論の立場から厳密に証明します。証明を行うときは、結論を明確にして、仮定をはじめとする道具を整理することが大切です。
高校数学+α 【部分分数分解のなぜ】可換環論で答える！裏ワザに負けない理解と計算のやり方とは。
「部分分数分解」は高校数学の数列の和や積分の計算をする際に用いたりします。・分母が二乗のときは？・分母が3つの多項式の積の場合は？・公式はある？・積分が計算できないときは？といった疑問に「可換環論」等の知識を用いて答えてゆきます。
微分積分学 【∫[0,∞] x^ne^{-x^2/2} dx】定積分の漸化式 Part.9 指数関数（２）
みなさん、こんにちは。今回は [0,∞] 上の定積分 G_n=∫x^ne^{-x^2/2}dx に関する問題を解きます。これは「ガウス積分」を用いて計算されます。計算結果は二重階乗を用いて表記され、正規分布共関連があります。
微分積分学 【∫[0,∞] x^ne^{-x} dx】定積分の漸化式 Part.8 指数関数（１）
みなさん、こんにちは。今回は [0,∞] 上の定積分 F_n=∫x^ne^{-x}dx に関する問題を解きます。これは「ガンマ関数」と呼ばれる関数の特別な場合に相当します。これは階乗の一般化になっています。
微分積分学 【∫ 1/(x^2+1)^n dx】不定積分の漸化式 Part.4 逆三角関数
今回は I_n(x)=∫1/(x^2+1)^n dx に関する問題を解きます。一般項を求めることはせずに、関数の列 {I_n(x)} に関する漸化式を導出し、それを用いて I_2(x)，I_3(x)，I_4(x) を順に決定します。
微分積分学 【∫[0,π/2] sin^m(x)cos^n(x) dx】定積分の漸化式 Part.7 三角関数（３）
今回は [0,π/2] 上の定積分 I_{m,n}=∫sin^m(x)cos^n(x)dx に関する問題を解きます。これは「ウォリス積分」の知識を用いて考えます。また「ベータ関数」との関係についても考えます。
数学基礎論 【1+1=2】証明は難しい？「ペアノの公理を “ドミノ” で理解する。」
1+1 という式の答えは、誰しも 2 と答えるでしょう。今回は、1+1=2 は「成り立つか確認すべきもの」であるという立場で、証明の雰囲気だけでも感じましょう。この計算は最も簡単が故に問題として「証明せよ」と言われると困ってしまいますね。
高校数学+α 「どこまで因数分解するか？」係数の範囲は有理数、実数、複素数…整数？
今回は、因数分解そのものの理論に焦点を当ててゆきます。「因数分解せよ」という問題を解いていて「どこまでやればいいんだ」と思ったことのある方もいるでしょう。その “因数分解がこれ以上できない判定条件” について考えたいと思います。