微分積分学 【ネイピア数 e は無理数】割り切れるか背理法で証明！自然対数の底を定義する。
今回は「ネイピア数 e が無理数であること」を証明したいと思います。自然対数の底とも呼ばれる e ですが、その背景にもなっている複数の定義に触れ、最終的にマクローリン展開を用いた定義を用いて証明を行います。
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微分積分学 【∫[0,∞] x^ne^{-x^2/2} dx】定積分の漸化式 Part.9 指数関数（２）
みなさん、こんにちは。今回は [0,∞] 上の定積分 G_n=∫x^ne^{-x^2/2}dx に関する問題を解きます。これは「ガウス積分」を用いて計算されます。計算結果は二重階乗を用いて表記され、正規分布共関連があります。
微分積分学 【∫[0,∞] x^ne^{-x} dx】定積分の漸化式 Part.8 指数関数（１）
みなさん、こんにちは。今回は [0,∞] 上の定積分 F_n=∫x^ne^{-x}dx に関する問題を解きます。これは「ガンマ関数」と呼ばれる関数の特別な場合に相当します。これは階乗の一般化になっています。
微分積分学 【∫ 1/(x^2+1)^n dx】不定積分の漸化式 Part.4 逆三角関数
今回は I_n(x)=∫1/(x^2+1)^n dx に関する問題を解きます。一般項を求めることはせずに、関数の列 {I_n(x)} に関する漸化式を導出し、それを用いて I_2(x)，I_3(x)，I_4(x) を順に決定します。
微分積分学 【∫[0,π/2] sin^m(x)cos^n(x) dx】定積分の漸化式 Part.7 三角関数（３）
今回は [0,π/2] 上の定積分 I_{m,n}=∫sin^m(x)cos^n(x)dx に関する問題を解きます。これは「ウォリス積分」の知識を用いて考えます。また「ベータ関数」との関係についても考えます。