方程式 $$(x^3-x)^2(y^3-y)=86400$$ を満たす整数の組 \((x, y)\) を全て求めよ。
本記事を含む 大学入試カテゴリー もあります。何か参考になれば幸いです。
【解答例】
まず、
\begin{align}
x^3-x=x(x+1)(x-1)
\end{align}である。よって、\(x\) が整数なら、因数 \(x\), \(x+1\), \(x-1\) には \(2\) の倍数と \(3\) の倍数がそれぞれ少なくとも一つずつ含まれるので \(x^3-x\) は \(6\) の倍数である。同様に、整数 \(y\) に対して \(y^3-y\) も \(6\) の倍数である。
また、右辺の整数 \(86400\) を、因数 \(6\) を少なくとも \(3\) つ持つことに注意して因数分解すると $$86400=6^3\times400$$ となる。
これより、整数の組 \((x, y)\) に対して
\begin{align}
X&=\frac{x^3-x}{6}=\frac{(x-1)\times x\times (x+1)}{6},\\
Y&=\frac{y^3-y}{6}=\frac{(y-1)\times y\times (y+1)}{6}
\end{align}
とおくと \(X\), \(Y\) は整数であって、与えられた方程式より
\begin{align}
X^2Y=400\tag{1}
\end{align}が成り立つ。
ここで、式 (1) より \(X^2>0\) かつ \(X^2Y>0\) なので、整数 \(Y\) は \(1\) 以上である。よって、
\begin{align}
X^2\leq X^2Y=400
\end{align}となるので \(0<|X|\leq20\) が成り立つ。この範囲に注意して \(x\) と \(X\) の対応を確認すると以下のようになる。（但し、各列毎に複号同順。）
| \(x\) | \(\pm 2\) | \(\pm 3\) | \(\pm 4\) | \(\pm 5\) |
| \(X\) | \(\ \pm 1\ \) | \(\ \pm 4\ \) | \(\pm 10\) | \(\pm 20\) |
さて、\(X\) が \(400\) の約数であることに基づいて場合分けし、\(Y\) が \(y\) に関して単調に増加することに注意して処理してゆく。
- \(X=\pm1\) のとき。式 (1) より \(Y=400\) となるが、\(y=13, 14\) とすると
\begin{align}
Y&=\frac{12\times13\times14}{6}=364,\\
Y&=\frac{13\times14\times15}{6}=455
\end{align}となるので \(Y=400\) なる整数 \(y\) は存在しない。 - \(X=\pm4\) のとき。式 (1) より \(Y=25\) となるが、\(y=5, 6\) とすると
\begin{align}
Y&=20,&
Y&=35
\end{align}となるので \(Y=25\) なる整数 \(y\) は存在しない。 - \(X=\pm10\) のとき、表1より \(x=\pm4\) である。式 (1) より \(Y=4\) であって、再び表1より \(y=3\) である。
- \(X=\pm20\) のとき、表1より \(x=\pm5\) である。式 (1) より \(Y=1\) であって、再び表1より \(y=2\) である。
以上より、求める整数の組は
\begin{align}
(x,y)=(\pm4,3), (\pm5, 2)
\end{align}である。
私が考えたこと
因数分解と素因数分解の対応
整数は加法と減法と乗法を自由に行うことができる。また、余りを考えることで商を整数の範囲で定義でき、除法を考えることができる。扱う数を有理数まで拡張すると、0 ではない数の逆数は有理数である。よって、逆数との積で定義される除法における商は必ず有理数の範囲で計算できるため、余りを考える必要がなくなる。よって、整数について考えるときは「余り」に着目することが有効となる。 多項式も加法と減法と乗法を自由に行うことができる。また、一つの文字に着目することによって余り付きの除法を考えることができる。この共通点から、多項式を整式とも呼ぶ。これより、整式について考えるときも「余り」に着目することが有効となる。 整数や整式は、余りが 0 のときに因数の積への分解ができる。これを因数分解と呼んでいた。
今回の問でも、左辺の整式 \((x^3-x)^2(y^3-y)\) の因数分解と右辺の整数 \(86400\) の（素）因数分解を比較する方針が考えられるが、両辺共に因数の個数が多くなる。そこで、左辺の「型」に着目し、現れる整数を絞り込んで考える。
範囲を考えることの効果
整数の特徴として、値が離散的（飛び飛びの値をとること）であって、長さが有限の区間で範囲を指定すれば、その区間に含まれる整数が有限個に絞られることがある。一方、よく不等式を解くときのように実数を考えると、長さが有限の正の値をとる区間で範囲を指定されても、その区間に含まれる実数は無限個ある。 言い換えれば、整数の対して「不等号」による評価を考えることは「等号」に匹敵する価値があると言える。
例えば、今回のように、繰り返し現れる「型」になっている \((x^3-x)\) が \(86400\) の約数であることから \((x^3-x)\) の範囲は制限を受ける。
これは \(x\) が解になるための必要条件であって、その制限をクリアした \(x\) が全て解になるとは限らない。しかし、解になりうる整数 \(x\) が範囲の制限によって有限個に絞られるので、具体的に調べ上げることができる。
繰り返し現れる「型」の分析
与えられた方程式の左辺の整式に着目すると、\((x^3-x)\) や \((y^3-y)\) のように $$n^3-n$$ という「型」が複数現れている。そればかりか、そんな「型」のみを因数に持つ形で書き表すことができている。
よって、整数 \(n\) に対して \(n^3-n\) がとる値について考え、それが右辺の整数 \(86400\) の約数になる場合に限定することによって、整数の組 \((x, y)\) を全て求めるという方針を採用する。
感想
整数 \(n\) に対して \(\displaystyle f(n)=\frac{1}{6}(n^3-n)\) とおくと、与えられた方程式は $$f(x)^2f(y)=400$$ と書くことができます。ここで、関数 \(f\) は奇関数であって、\(2\) 以上の整数 \(n\) に対して $$f(n)={}_{n+1}{\rm C}_3$$ と書けます。また、\(f(1)=0\) です。よって、関数 \(f\) の値域（とりうる値全体のなす集合） \(R\) は整数全体 \(\mathbb{Z}\) の部分集合になります。よって、関数 \(f\) が \(\mathbb{Z}\) 上で単調に増加することから、今回の問題は
方程式 \(X^2Y=400\) を満たす \(R\) に属する数の組 \((X, Y)\) を全て求めよ。
と捉え直すことができます。ここで、必要なのは \(R\) に属する数のうち \(400\) を割り切るものなので
「全て書き出せそう！」
というモチベーションが出てきます。そこで $$f(n)=\frac{(n-1)\times n\times (n+1)}{2\times 3}$$ であるので、\(400=2^4\times5^2\) の正の約数になるものを手間なく全て書き出すことができます。
| \(n\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(f(n)\) | \(\ 1\ \) | \(\ 4\ \) | \(10\) | \(20\) |
この表が全てを書き出していることを利用する解き方も現実的であると思います。
コメント