【東京工業大学】第５問「正射影ベクトルの計算に親しもう。」解答・解説［過去問 2023年度］

点 \({\rm P}\) から直線 \({\rm AB}\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とする。このとき、\(\triangle{\rm PBH}\) は $$\angle{\rm PHB}=90^\circ$$ の直角三角形である。直線 \({\rm AB}\) の方向ベクトルとして大きさが \(1\) の \(\displaystyle \frac{\overrightarrow{\rm BA}}{|\overrightarrow{\rm BA}|}\) を考えると
\begin{align}
{\rm BH}
=\left|\overrightarrow{\rm BP}\cdot\frac{\overrightarrow{\rm BA}}{|\overrightarrow{\rm BA}|}\right|
\end{align}である。

よって、三平方の定理より
\begin{align}
{\rm PB}^2-{\rm PH}^2
=\left(\overrightarrow{\rm BP}\cdot\frac{\overrightarrow{\rm BA}}{|\overrightarrow{\rm BA}|}\right)^2
\end{align}となる。

同様に、点 \({\rm P}\) から直線 \({\rm BC}\) に下ろした垂線の足を \({\rm I}\) とする。直線 \({\rm BC}\) の方向ベクトルとして大きさが \(1\) の \(\displaystyle \frac{\overrightarrow{\rm BC}}{|\overrightarrow{\rm BC}|}\) を考えると
\begin{align}
{\rm PB}^2-{\rm PI}^2
=\left(\overrightarrow{\rm BP}\cdot\frac{\overrightarrow{\rm BC}}{|\overrightarrow{\rm BC}|}\right)^2
\end{align}となる。

条件より \({\rm PH}={\rm PI}\) である。よって、
\begin{align}
\overrightarrow{\rm BP}\cdot\frac{\overrightarrow{\rm BA}}{|\overrightarrow{\rm BA}|}&=\pm\left(\overrightarrow{\rm BP}\cdot\frac{\overrightarrow{\rm BC}}{|\overrightarrow{\rm BC}|}\right)
\end{align}すなわち
\begin{align}
\overrightarrow{\rm BP}\cdot\left(\frac{\overrightarrow{\rm BA}}{|\overrightarrow{\rm BA}|}\pm\frac{\overrightarrow{\rm BC}}{|\overrightarrow{\rm BC}|}\right)=0\tag{a}
\end{align}が成り立つ。

今、

\begin{align}
\frac{\overrightarrow{\rm BA}}{|\overrightarrow{\rm BA}|}\pm\frac{\overrightarrow{\rm BC}}{|\overrightarrow{\rm BC}|}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\-2\end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)
\end{align}

であるので、\({\rm P}(x,y,z)\) とおくと、(a)より $$-(x-1)-(y-1)-2(z-1)=0$$ または $$(x-1)-(y-1)=0$$ が成り立つ。

よって、求める図形は \(2\) 平面
\begin{gather}
x+y+2z-4=0,\tag{b1}\\
x-y=0\tag{b2}
\end{gather}を合わせた図形である。

点 \({\rm P}(x,y,z)\) が \(2\) 直線 \({\rm BC}\)，\({\rm CD}\) から等距離であるための条件について

\begin{align}
\frac{\overrightarrow{\rm CB}}{|\overrightarrow{\rm CB}|}\pm\frac{\overrightarrow{\rm CD}}{|\overrightarrow{\rm CD}|}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\2\end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)
\end{align}

であるので、（１）と同様に \(\overrightarrow{\rm CP}\) との内積を考えると $$(x+1)-(y-1)+2(z+1)=0$$ または $$(x+1)+(y-1)=0$$ となる。すなわち、
\begin{gather}
x-y+2z+4=0\tag{c1}
\end{gather}または
\begin{gather}
x+y=0\tag{c2}
\end{gather}である。

点 \({\rm P}(x,y,z)\) が \(2\) 直線 \({\rm CD}\)，\({\rm DA}\) から等距離であるための条件について
\begin{align}
\frac{\overrightarrow{\rm DC}}{|\overrightarrow{\rm DC}|}\pm\frac{\overrightarrow{\rm DA}}{|\overrightarrow{\rm DA}|}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}\pm\sqrt{2}\\1\\-1\end{array}\right)
\end{align}であるので、（１）と同様に \(\overrightarrow{\rm DP}\) との内積を考えると
\begin{gather}
\pm\sqrt{2}(x+1)+y-z=0\tag{d}
\end{gather}である。

さて、直線 \({\rm DA}\) は \(x\) 軸なので、点 \({\rm P}(x,y,z)\) との距離 \(r\) は $$r=\sqrt{y^2+z^2}$$ と書ける。よって、

• (b1)かつ(c1)のとき $$x=-2z\ かつ\ y=4$$ なので、(d) より \(z=\pm\sqrt{2}\) である。よって \(r=3\sqrt{2}\) となる。
  　
• (b1)かつ(c2)のとき $$x=-y\ かつ\ z=2$$ なので、(d) より \(y=\pm\sqrt{2}\) である。よって \(r=\sqrt{6}\) となる。
  　
• (b2)かつ(c1)のとき $$x=y\ かつ\ z=-2$$ なので、(d) より \(x=\pm\sqrt{2}\) である。よって \(r=\sqrt{6}\) となる。
  　
• (b2)かつ(c2)のとき \(x=y=0\) なので、(d) より \(z=\pm\sqrt{2}\) である。よって \(r=\sqrt{2}\) となる。

以上より、求める中心 \((x,y,z)\) と半径 \(r\) の組は

• 中心 \((\pm2\sqrt{2},4,\mp\sqrt{2})\)，半径 \(3\sqrt{2}\)
• 中心 \((\pm\sqrt{2},\mp\sqrt{2},2)\)，半径 \(\sqrt{6}\)
• 中心 \((\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2},-2)\)，半径 \(\sqrt{6}\)
• 中心 \((0,0,\pm\sqrt{2})\)，半径 \(\sqrt{2}\)

である。但し、それぞれ複号同順である。