【∫ sin^n(x) dx】不定積分の漸化式 Part.1 三角関数（１）

みなさん、こんにちは。

今回は、次の問題を解いてゆきます。

問題

$0$ 以上の整数 $n$ に対して、次の不定積分

\begin{align}
I_n(x)&=\int \sin^n x\,dx,\\
J_n(x)&=\int \cos^n x\,dx
\end{align}

を考える。但し、$\sin^0 x$，$\cos^0 x$ は共に $1$ とする。

（１）$I_0(x)$ と $I_1(x)$ を求めよ。

（２）$n\geq2$ に対して $I_n(x)$ を $I_{n-2}(x)$ で表すことで、$I_4(x)$ と $I_5(x)$ を求めよ。

（３）$J_n(x)$ を $\displaystyle I_n\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ を用いて表せ。

その他の例題は以下のリンクを参照してください。

答え
解説
最後に

答え

（１）
\begin{gather}
I_0(x)=x+C_0
\end{gather}また
\begin{gather}
I_1(x)=-\cos x+C_1
\end{gather}

但し、$C_0$ と $C_1$ は積分定数とする。

（２）
\begin{gather}
I_4(x)=\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}\cos x\sin x-\frac{1}{4}\cos x\sin^3x+C_4
\end{gather}

また

\begin{align}
I_5(x)
&=-\frac{8}{15}\cos x-\frac{4}{15}\cos x\sin^2x-\frac{1}{5}\cos x\sin^4x+C_5
\end{align}

但し、$C_4$ と $C_5$ は積分定数とする。

（３）$\displaystyle J_n(x)=-I_n\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

解説

$I_0(x)$ と $I_1(x)$ を求める。

まず、$\sin^0 x=1$ と約束していたので、$C_0$ を積分定数とすると

\begin{align}
I_0(x)
=\int 1\,dx
=x+C_0
\end{align}となります。

また、$C_1$ を積分定数とすると

\begin{align}
I_1(x)
=\int \sin x\,dx
=-\cos x+C_1
\end{align}となります。

$I_n(x)$ の漸化式を求める。

$n\geq2$ であることを用いて部分積分を行います。

\begin{align}
I_n(x)
&=\int \sin x\sin^{n-1}x\,dx\\
&=(-\cos x)\sin^{n-1}x-\int(-\cos x)\{(n-1)\cos x\sin^{n-2}x\}\,dx\\
&=-\cos x\sin^{n-1}x+(n-1)\int \cos^2x\sin^{n-2}x\,dx\\
&=-\cos x\sin^{n-1}x+(n-1)\int (1-\sin^2x)\sin^{n-2}x\,dx\\
&=-\cos x\sin^{n-1}x+(n-1)(I_{n-2}(x)-I_n(x))
\end{align}

これを $I_n(x)$ について解くことで

\begin{align}
I_n(x)=\frac{n-1}{n}I_{n-2}(x)-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x
\end{align}を得ます。

$n=4$ とすると

漸化式を繰り返し用いることで

\begin{align}
I_4(x)
&=\frac{3}{4}I_{2}(x)-\frac{1}{4}\cos x\sin^{3}x\\
&=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}I_{0}(x)-\frac{1}{2}\cos x\sin x\right)-\frac{1}{4}\cos x\sin^{3}x\\
&=\frac{3}{8}I_{0}(x)-\frac{3}{8}\cos x\sin x-\frac{1}{4}\cos x\sin^{3}x
\end{align}

となります。$I_{0}(x)$ は既に求めていたので、$C_4$ を積分定数とすると

\begin{align}
I_4(x)
&=\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}\cos x\sin x-\frac{1}{4}\cos x\sin^{3}x+C_4
\end{align}

となります。

$n=5$ とすると

漸化式を繰り返し用いることで

\begin{align}
I_5(x)
&=\frac{4}{5}I_{3}(x)-\frac{1}{5}\cos x\sin^{4}x\\
&=\frac{4}{5}\left(\frac{2}{3}I_{1}(x)-\frac{1}{3}\cos x\sin^2x\right)-\frac{1}{5}\cos x\sin^{4}x\\
&=\frac{8}{15}I_{0}(x)-\frac{4}{15}\cos x\sin x-\frac{1}{5}\cos x\sin^{4}x
\end{align}

となります。$I_{1}(x)$ は既に求めていたので、$C_5$ を積分定数とすると

\begin{align}
I_5(x)
&=-\frac{8}{15}\cos x-\frac{4}{15}\cos x\sin^2x-\frac{1}{5}\cos x\sin^4x+C_5
\end{align}

となります。

$I_n(x)$ と $J_n(x)$ の関係とは。

一般に $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ が成り立つことが関連しています。

$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-x$ とおくと $\displaystyle dy=-dx$ であるので

\begin{align}
I_n(y)
&=\int \sin^n y\,dy\\
&=\int \sin^n\left(\frac{\pi}{2}-x\right)(-1)\,dx\\
&=-\int \cos^n x\,dx\\
&=-J_n(x)
\end{align}すなわち

\begin{align}
J_n(x)=-I_n\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\end{align}を得ます。

最後に

今回は、不定積分による関数の列 $\{I_n(x)\}$ を考えました。

それを定積分にすると、区間に応じて数列 $\{I_n\}$ を得られますね。

その区間の設定として例えば $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ を採用すると

漸化式 $$I_n(x)=\frac{n-1}{n}I_{n-2}(x)-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x$$ において $\cos x\sin x$ を含む項は両端の値の代入によって必ず $0$ になる。
（３）で示した関係式と同様にして $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\,dx$$ が成り立つ。

ことが言えます。

この数列

\begin{align}
I_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx,\\
J_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\,dx
\end{align}に関しては、以下の記事で扱っています。