大学入試でも出題される積分漸化式ですが、一般項が簡単に求められないと難問に感じますね。そのような場合、実験として具体的な小さい \(n\) について考察することが重要です。
本記事は、そんな積分漸化式を収集してゆくものです。基本的には高校数学ですが、ウォリス積分やベータ関数など大学数学を背景とした内容も扱い、その他に逆三角関数なども登場します。
不定積分の漸化式
三角関数
\begin{align}
I_n(x)&=\int \sin^n x\,dx,\\
J_n(x)&=\int \cos^n x\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
\begin{align}
K_n(x)&=\int \tan^n x\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
対数関数
\begin{align}
L_n(x)&=\int (\log x)^n \,dx
\end{align}
→ 解答・解説
逆関数
\begin{align}
I_n(x)&=\int \frac{1}{(x^2+1)^n}\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
\begin{align}
I_n(x)&=\int x^n\sqrt{x^2+1}\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
定積分の漸化式
三角関数
\begin{align}
I_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx,\\
J_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
\begin{align}
K_n&=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
\begin{align}
I_{m,n}&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x\cos^n x\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
指数関数
\begin{align}
F_n&=\int_0^{\infty} x^ne^{-x}\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
\begin{align}
G_n&=\int_0^{\infty} x^ne^{-\frac{x^2}{2}}\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
対数関数
\begin{align}
L_n&=\int_1^e (\log x)^n\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
逆関数
\begin{align}
I_n&=\int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^n}\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
\begin{align}
I_n&=\int_0^1 x^n\sqrt{x^2+1}\,dx
\end{align}
→ 解答・解説
その他
\begin{align}
B(m,n)&=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} \,dx
\end{align}
→ 解答・解説
最後に
他に入試などで扱われた積分漸化式がありましたら、ページ最下部からコメントをいただけると嬉しいです！
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