【(-1)×(-1)=1の証明】なぜ「マイナス×マイナス＝プラス」か説明せよ。

中学１年生の頃に

マイナス×マイナスはプラスになる。

という性質を教わったと思います。今回は、その主張の基礎となる式 $$(-1)×(-1)=1$$ について、厳密な証明を与えたいと思います。この記事を通して、数学で証明する際の姿勢を感じていただければと思います。

証明に向けた準備から。
いざ証明を！！
最後に。

証明に向けた準備から。

証明をする際に大切なことは

証明で示すべき結論
証明に使える道具

を明確にさせることです。特に、今回のように一見当たり前の主張を証明するときは、道具として何が使えるのかを見極める必要があります。

結論の分析 …

結論は $$(-1)\times(-1)=1$$ が成り立つことですね。登場するのは

乗法 $\times$
整数 $1$
整数 $-1$

です。そこで、これらの定義を “環論” の立場から確認しておきましょう。

道具の確認 …

数に対して、加法と乗法が計算の基本となります。このふたつの演算を備えた数の概念として「環」（かん）と呼ばれるものが存在します。その定義を述べておきます。

当たり前と思わずに、真っさらな気持ちで読み進めてみてください！

環の定義

空集合ではないものの集まり $R$ について、加法と乗法が定義され、以下の条件を満たすものとする。

（A）加法について

任意の $x,y,z\in R$ に対して $$(x+y)+z=x+(y+z)$$ が成り立つ。（加法の結合性）
$0$ という $R$ の要素が存在して、任意の $x\in R$ に対して $$x+0=0+x=x$$ が成り立つ。（加法単位元の存在）
任意の $x\in R$ に対して、$$x+y=y+x=0$$ となる $R$ の要素 $y$ が存在する。この $y$ を $-x$ と書く。（加法逆元の存在）
任意の $x,y\in R$ に対して $$x+y=y+x$$ が成り立つ。（加法の可換性）

（M）乗法について

任意の $x,y,z\in R$ に対して $$(xy)z=x(yz)$$ が成り立つ。（乗法の結合性）
$1$ という $R$ の要素が存在して、任意の $x\in R$ に対して $$x\times1=1\times x=x$$ が成り立つ。（乗法単位元の存在）

（D）加法と乗法について

分配法則が成り立つ。

$R$ が加法と乗法について上記の６つの条件を満足するとき、$R$ を環と呼ぶ。

例えば、整数全体 $\mathbb{Z}$、有理数全体 $\mathbb{Q}$、実数全体 $\mathbb{R}$、複素数全体 $\mathbb{C}$ などは通常の加法と乗法によって環となります。

一方、自然数全体 $\mathbb{N}$ は通常の加法と乗法によって環とはなりません。実際、$1$ は自然数ですが、その加法逆元 $-1$ は自然数ではありません。

$0$, $1$, $-1$ とは

環の定義において、今回の証明に臨むにあたって特に重要な点は、

“$0$” という数は、加法に関する等式 $$x+0=0+x=x$$ のみによって特徴付けられる。
“$1$” という数は、乗法に関する等式 $$x\times 1=1\times x=x$$ のみによって特徴付けられる。
“$-1$” という数は、等式 $$x+1=1+x=0$$ を満たす数 $x$ である。

ということです。これらの道具を駆使して証明を進めたいと思います。

いざ証明を！！

証明すべき性質１です。

$R=\mathbb{Z}$（整数全体）とします。

性質１

任意の $a\in R$ に対して $$a\times0=0\times a=0$$ が成り立つ。特に、$a=-1$ とすると $(-1)\times0=0$ となる。

「数 $a$ に $\times 0$ したら $=0$ になるのは $0$ という数の定義ではない。」ということを思い出し、証明してみましょう。

性質１の証明
$a\in R$ を任意にとり、$x=a\times0$ とおく。加法単位元 $0$ の定義より $$0+0=0$$ である。両辺に $a$ を左からかけると、分配法則 D-1 より
\begin{align}
a\times(0+0)&=a\times0\\
a\times0+a\times0&=a\times0\\
x+x&=x
\end{align}となる。この両辺に $-x$ を足すと
\begin{align}
(x+x)+(-x)&=x+(-x)\\
x+(x+(-x))&=x+(-x)\tag{A-1 より}\\
x+0&=0\tag{A-3 より}\\
x&=0\tag{A-2 より}
\end{align}となる。以上より、$a\times 0=x=0$ を得る。

（ $0\times a=0$ についても同様に示されます。）

証明すべき性質２です。

性質２

任意の $a\in R$ に対して $$-(-a)=a$$ が成り立つ。特に、$a=1$ とすると $-(-1)=1$ となる。

こちらも、当たり前としてはいけません。

性質２の証明
$a\in R$ を任意にとり、$x=-a$ とおく。$x$ は $a$ の加法逆元であるので、A-3 より $$a+x=x+a=0$$ が成り立つ。この式を $x$ に着目して見ると、$a$ は $x$ の加法逆元とも言える。よって、再び A-3 より $$a=-x=-(-a)$$ を得る。

証明を完成させよう！

いよいよ、メインの証明を行います。性質Aと性質Bを使って証明を完成させましょう。

証明
$x=(-1)\times (-1)$ とおく。この両辺に $-1$ を足すと
\begin{align}
x+(-1)
&=(-1)\times(-1)+(-1)\\
&=(-1)\times(-1)+(-1)\times1\tag{M-2 より}\\
&=(-1)\times((-1)+1)\tag{D-1 より}\\
&=(-1)\times0\tag{A-3 より}\\
&=0\tag{性質１}
\end{align}となる。これは A-3 より $x=-(-1)$ であることを意味する。よって、
\begin{align}
(-1)\times(-1)
&=x\\
&=-(-1)\\
&=1\tag{性質２}
\end{align}を得る。