高校数学

今回は I_n(x)=∫x^n√(x^2+1)dx に関する問題を解きます。一般項を求めることはせずに、関数の列 {I_n(x)} に関する漸化式を導出し、それを用いて I_2(x)，I_3(x) を順に決定します。

今回は [0,1] 上の定積分 I_n=∫1/(x^2+1)^n dx に関する問題を解きます。漸化式から、上手く数列 {I_n} の規則を見出だし、工夫して計算してゆきましょう。対応する関数の列 {I_n(x)} についても言及します。

今回は [0,1] 上の定積分 B(m,n)=∫x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx に関する問題を解きます。これは「ベータ関数」の特別な場合です。変数を x=sin^2(θ) と置換すると、新しい積分を得られます。

今回は [1,e] 上の定積分 L_n=∫(log(x))^n dx に関する問題を解きます。漸化式から、数列 {L_n} の規則を見出だし、うまく計算してゆきましょう。最後には、一般項を明示的に書くことも試みます。

今回は L_n(x)=∫(log(x))^ndx に関する問題を解きます。一般項を求めることはせずに、関数の列 {L_n(x)} に関する漸化式を導出し、それを用いて L_1(x)，L_2(x)，L_3(x) を順に決定します。

今回は [0,π/4] 上の定積分 K_n=∫tan^n(x)dx に関する問題を解きます。漸化式から、数列 {K_n} の規則を見出だすことで、一般項を無理やり書くより、簡単に K_100 などの値を記述することができると思います。

今回は K_n(x)=∫tan^n(x)dx に関する問題を解きます。一般項を求めることはせずに、関数の列 {K_n(x)} に関する漸化式を導出し、それを用いて K_4(x) や K_5(x) を決定します。

今回は [0,π/2] 上の定積分 I_n=∫sin^n(x)dx や J_n=∫cos^n(x)dx に関する問題を解きます。これは「ウォリス積分」とも呼ばれます。二重階乗を用いることで、一般項を簡潔に記述することもできます。