【∫[0,1] x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx】定積分の漸化式 Part.6 ベータ関数

みなさん、こんにちは。

今回は、次の問題を解いてゆきます。

問題

正の整数 $m$，$n$ に対して、次の定積分

\begin{align}
B(m,n)&=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} \,dx
\end{align}

を考える。但し、$x^0$，$(1-x)^0$ は共に $1$ とする。

（１）$B(m,1)$ を求めよ。

（２）$n\geq2$ とする。部分積分によって $$B(m,n)=\frac{n-1}{m}B(m+1,n-1)$$ を示せ。

（３）$B(m,n)$ を求めよ。

その他の例題は以下のリンクを参照してください。

答え
解説
最後に

答え

（１）$\displaystyle B(m,1)=\frac{1}{m}$

（２）省略。

（３）$\displaystyle B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$

解説

$B(m,1)$ を求める。

まず、$(1-x)^0=1$ と約束していたので、

\begin{align}
B(m,1)
&=\int_0^1 x^{m-1}\,dx\\
&=\left[\frac{1}{m}x^m \right]_0^1\\
&=\frac{1}{m}
\end{align}となります。

$B(m,n)$ の漸化式を求める。

$n\geq2$ であることを用いて部分積分を行います。

\begin{align}
B(m,n)
&=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} \,dx\\
&=\left[\frac{1}{m}x^m(1-x)^{n-1}\right]_0^1-\int_0^1 \frac{1}{m}x^m\left\{(n-1)(-1)(1-x)^{n-2}\right\}\,dx\\
&=0+\frac{n-1}{m}\int_0^1 x^m(1-x)^{n-2} \,dx\\
&=\frac{n-1}{m}B(m+1,n-1)
\end{align}

を得ます。

$B(m,n)$ を求める。

$n\geq2$ とすると、（２）より

\begin{align}
B(m,n)
&=\frac{n-1}{m}\times B(m+1,n-1)\\
&=\frac{n-1}{m}\times \frac{n-2}{m+1}\times B(m+2,n-2)\\
&\qquad\ \ \vdots\\
&=\frac{n-1}{m}\times \frac{n-2}{m+1}\times\cdots\times\frac{1}{m+n-2}\times B(m+n-1,1)
\end{align}

となります。（１）より $$B(m+n-1,1)=\frac{1}{m+n-1}$$ なので

\begin{align}
B(m,n)
&=\frac{n-1}{m}\times \frac{n-2}{m+1}\times\cdots\times\frac{1}{m+n-2}\times \frac{1}{m+n-1}\\
&=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}
\end{align}

を得ます。

これは、（１）より $n=1$ のときも成り立ちます。

よって、$$B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$$ となります。

最後に

今回は、ベータ関数と呼ばれる関数

\begin{align}
B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} \,dt
\end{align}

が題材になっています。この関数は「実部が正である複素数の組 $(x,y)$ 」に対して定義できるので、それを「正の整数」として $B(m,n)$ を考えました。

さて、冒頭の $B(m,n)$ の定積分において $$x=\sin^2\theta$$ と置換してみましょう。このとき、

\begin{align}
x^{m-1}&=\sin^{2m-2}\theta\\
(1-x)^{n-1}&=\cos^{2n-2}\theta
\end{align}

また

\begin{align}
dx&=2\sin\theta\cos\theta d\theta
\end{align}

であるので

\begin{align}
B(m,n)
&=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} \,dx\\
&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m-2}\theta\,\cos^{2n-2}\theta\,(2\sin\theta\cos\theta)\,d\theta\\
&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m-1}\theta\,\cos^{2n-1}\theta\,d\theta
\end{align}

を得ます。

ここで、

\begin{align}
I_{m,n}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m\theta\,\cos^n\theta\,d\theta
\end{align}

という定積分を考えると $$B(m,n)=2I_{2m-1,2n-1}$$ が成り立ちます。

この定積分 $I_{m,n}$ については、以下の記事で扱っています。