【京都大学-理系】第６問「チェビシェフ多項式の性質を見抜く。」解答・解説［過去問 2023年度］

京都大学第６問（2023年度前期理系）

$p$ を $3$ 以上の素数とする。また、$\theta$ を実数とする。

（１）$\cos3\theta$ と $\cos4\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ。

（２）$\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{p}$ であるとき、$\displaystyle \theta=\frac{m}{n}\pi$ なる正の整数 $m$，$n$ は存在するか。理由をつけて答えよ。

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【解答例】
1. （１）
2. （２）
考察と感想
1. （１）について
2. （２）について

【解答例】

（１）

まず、$2$ 倍角の公式より

\begin{align}
\cos3\theta
&=\cos(2\theta+\theta)\\
&=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\
&=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\
&=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta\\
&=4\cos^3\theta-3\cos\theta
\end{align}

である。次に、

\begin{align}
\cos4\theta
&=\cos(2\times2\theta)\\
&=2\cos^22\theta-1\\
&=2(2\cos^2\theta-1)^2-1\\
&=2(4\cos^4\theta-4\cos^2\theta+1)-1\\
&=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1
\end{align}

である。

（２）

（１）より、$x=\cos\theta$ とおくと
\begin{align}
\cos3\theta&=4x^3-3x,\\
\cos4\theta&=8x^4-8x^2+1
\end{align}となる。また、
\begin{align}
\cos\theta&=x,\\
\cos2\theta&=2x^2-1
\end{align}である。

ここで、

「任意の正の整数 $n$ に対して、以下の条件を全て満たす多項式 $T_n(x)$ が存在すること」

を数学的帰納法で示す。

$\cos n\theta=T_n(\cos\theta)$ が成り立つ。
$T_n(x)$ は整数係数の $n$ 次式である。
$T_n(x)$ の $x^n$ の係数は $2^{n-1}$ である。

${\rm [I]}$ $n=1,2$ のときは $$T_1(x)=x,\ T_2(x)=2x^2-1$$ とおくと条件を全て満たす。

${\rm [II]}$ $n=1,2,\ldots$ として、条件を満たす多項式 $T_n(x), T_{n+1}(x)$ が存在すると仮定する。今、

\begin{align}
&\cos((n+2)\theta)+\cos(n\theta)\\
&\quad=\cos((n+1)\theta+\theta)+\cos((n+1)\theta-\theta)\\
&\quad=2\cos((n+1)\theta)\cos\theta
\end{align}

であるので、帰納法の仮定より

\begin{align}
&\cos((n+2)\theta)\\
&\quad=2\cos((n+1)\theta)\cos\theta-\cos(n\theta)\\
&\quad=2T_{n+1}(\cos\theta)\cos\theta-T_n(\cos\theta)
\end{align}

が成り立つ。ここで、多項式 $2xT_{n+1}(x)-T_n(x)$ は $(n+2)$ 次式で $x^{n+2}$ の係数は $2^{n+1}$ である。よって、$$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)$$ とおくと条件を全て満たす。

以上、${\rm [I]}$ と ${\rm [II]}$ より示された。

さて、$\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{p}$ であるとき、$\displaystyle \theta=\frac{m}{n}\pi$ なる正の整数 $m$，$n$ が存在すると仮定する。

まず、$n\theta=m\pi$ であるので、多項式 $T_n(x)$ の条件1より $\displaystyle (-1)^m=T_n\left(\frac{1}{p}\right)$ が成り立つ。この両辺に $p^n$ をかけることで $$(-1)^mp^n=p^nT_n\left(\frac{1}{p}\right)$$ となる。

多項式 $T_n(x)$ の条件2,3より、この両辺それぞれにおいて $p$ を法とすると $$0\equiv 2^{n-1}$$ を得るが、$p$ が $3$ 以上の素数であることに反する。

以上より、正の整数 $m$，$n$ は存在しない。

考察と感想

（１）について

ただ $3$ 倍角や $4$ 倍角の式を導くのではなく、なぜ設問として出題されているのかを考えたいと思いました。

$\cos3\theta$ や $\cos4\theta$ が $\cos\theta$ の多項式で書けているので、一般に $\cos n\theta$ も $x=\cos\theta$ の多項式 $T_n(x)$ で書けることが推測されます。これは、大学以降の数学で学ぶ直交多項式と呼ばれる多項式の一種で、チェビシェフ多項式と呼ばれます。大学受験の数学でも、名前は出ずとも登場することがあります。