【東京工業大学】第３問「絶対値と偏角、条件を適切に表す。」解答・解説［過去問 2023年度］

絶対値を考えるので、各操作で実部と虚部に選ばれるカードは入れ替えても良い。

各操作において

であるので、条件 \(|{z_n}|<5\) すなわち $$|{z_n}|^2<25$$ を満たすのは「\(B\) から選ぶときと \(C\) から選ぶときが合わせて \(2\) 回以下である場合」となる。

よって、\(n\geq2\) として、その回数 \(k\) を小さい順に考えると

\begin{align}
P_n
&=\sum_{k=0}^2{}_n{\rm C}_k\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{n-k}\\
&=\frac{1+n\times2+\frac{n(n-1)}{2}\times2^2}{3^n}\\
&=\frac{2n^2+1}{3^n}
\end{align}となる。

これは \(n=1\) のときも成り立つので $$P_n=\frac{2n^2+1}{3^n}$$ である。

複素数が実数であることは偏角の値で判断できる。

各操作において

である。

原点を中心とした適当な半径（\(|z_n|^2\) や \(|z_{n+1}|^2\)）の円周を、以下のように複素数平面上で考える。このとき、求めたい \(Q_n\) は \({z_n}^2\) が \(\bullet\) にある確率である。

ここで、\({z_n}^2\) からもう一度操作をして \({z_{n+1}}^2\) を作ったとき

• 複素数が \(\times\ \longrightarrow\ \bullet\) と移る確率は \(\displaystyle \frac{1}{6}\)
• 複素数が \(\bullet\ \longrightarrow\ \bullet\) と移る確率は \(\displaystyle \frac{2}{3}\)

である。

今、\({z_n}^2\) が \(\times\) にある確率は \(1-Q_n\) なので
\begin{align}
Q_{n+1}
&=(1-Q_n)\times\frac{1}{6}+Q_n\times\frac{2}{3}\\
&=\frac{1}{2}Q_n+\frac{1}{6}
\end{align}すなわち $$Q_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\left(Q_n-\frac{1}{3}\right)$$ である。

さて、$$Q_1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$ であるので
\begin{align}
Q_n
&=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\
&=\frac{1}{3}\left\{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}
\end{align}である。