黒玉 \(3\) 個、赤玉 \(4\) 個、白玉 \(5\) 個が入っている袋から玉を \(1\) 個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に \(12\) 個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
（１）どの赤玉も隣り合わない確率 \(p\) を求めよ。
（２）どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 \(q\) を求めよ。
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【解答例】
（１）
赤玉以外の \(8\) 個の玉を一列に並べると \(8!\) 通り。それらの間と両端の \(9\) 箇所のうち \(4\) 箇所に赤玉を \(1\) つずつ並べるので
\begin{align}
8!\times(9\times8\times7\times6)
\end{align}通り。一方、玉の並べ方は全部で \(12!\) 通りなので、
\begin{align}
p
&=\frac{8!\times(9\times8\times7\times6)}{12!}\\
&=\frac{8\times7\times6}{12\times11\times10}\\
&=\frac{14}{55}
\end{align}を得る。
（２）
どの赤玉も隣り合わないという条件の下、黒玉が隣り合う場合を除けば良い。
黒玉 \(3\) 個のうち \(2\) つを \(1\) まとまりと見做す。黒玉を \(2\) 個として、赤玉以外 \(7\) 個の玉を一列に選べると \(7!\) 通り。それらの間と両端の \(8\) 箇所のうち \(4\) 箇所に赤玉を \(1\) つずつ並べる。黒玉は \(3\) 個に戻すことを考えると \(3!\) 通りなので
\begin{align}
7!\times(8\times7\times6\times5)\times3!
\end{align}通り。
ここで、黒玉 \(3\) 個が降り合う場合が \(2\) 回ずつ数えている。
黒玉 \(3\) 個を \(1\) まとまりと見做す。黒玉を \(1\) 個として、赤玉以外 \(6\) 個の玉を一列に選べると \(6!\) 通り。それらの間と両端の \(7\) 箇所のうち \(4\) 箇所に赤玉を \(1\) つずつ並べる。黒玉は \(3\) 個に戻すことを考えると \(3!\) 通りなので
\begin{align}
6!\times(7\times6\times5\times4)\times3!
\end{align}通り。
よって、隣り合う黒玉がある場合は
\begin{align}
&7!\times(8\times7\times6\times5)\times3!-6!\times(7\times6\times5\times4)\times3!\\
&\quad=7!\times6\times5\times(8\times7-4)\times3!\\
&\quad=10!\times13
\end{align}
通り。
よって、求める確率は
\begin{align}
q
&=1-\frac{10!\times13}{8!\times(9\times8\times7\times6)}\\
&=1-\frac{5\times13}{4\times7\times6}\\
&=1-\frac{65}{168}\\
&=\frac{103}{168}
\end{align}である。
考察と感想
（１）について
（１）はどの赤玉も隣り合わない場合なので、その他の黒と白あわせて \(8\) 個の玉を予め並べます。その後、\(4\) 個の赤玉を間と両端の \(9\) 箇所に並べました。その際、（２）で使う可能性を考え、条件を満たす “場合の数” も丁寧に求めておこうと意識しました。人やモノが隣り合わない場合、この考え方はよく使いますね。
（２）について
（２）では、その条件の下、さらにどの黒玉も隣り合わないという 条件付き確率 を求めます。余事象の考えを用いると「隣り合う黒玉がある場合」を除く必要があります。隣り合うパターンを、重複することなく上手く数え上げることを意識しました。また、確率を計算する際、カタマリで約分することで大きな数の計算を回避することも考えました。
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