新課程【数学B：統計的な推測】とは？「高校数学における統計学を眺める。」

目の数字が \(1\)，\(2\)，\(3\)，\(3\)，\(5\)，\(5\) であるさいころが \(1\) 個ある。このさいころを \(2\) 回投げ、出た目の積を \(4\) で割った余りを \(X\) とする。確率変数 \(X\) の期待値を求めよ。

白球 \(2\) 個と黒球 \(4\) 個が入った袋から \(1\) 個ずつ球を取り出すことを繰り返す。但し、取り出した球は袋に戻さないものとする。\(2\) 個目の白球が取り出されたとき、その時点で取り出した球の総数を \(X\) とする。確率変数 \(X\) の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

黒石が \(2\) 個、白石が \(n\) 個ある。これらを無作為に \(1\) 個ずつ一列に並べてゆく。このとき、\(2\) 個の黒石の間にある白石の個数を \(X\) とする。確率変数 \(X\) の期待値と分散を求めよ。

\(1\) ではない定数 \(a\) に対し、確率変数 \(X\) のとり得る値が \(\{1,a\}\) であるとする。確率変数 \(Y=3X-1\) の期待値と分散がそれぞれ \(5\) と \(9\) であるとき、\(a\) の値を求めよ。

\(1\)，\(2\)，\(3\) の数字を書いたカードが、それぞれ \(2\) 枚，\(3\) 枚，\(5\) 枚の計 \(10\) 枚ある。これらのカードを元に戻さず、無作為に \(1\) 枚ずつ \(2\) 回選び出す。\(1\) 回目に選んだカードの数字を \(X\) とし、\(2\) 回目に選んだカードの数字を \(Y\) とするとき、\(X\) と \(Y\) の同時分布を求めよ。

\(1\) 個のさいころを \(2\) 回連続で投げる。出た目を順に \(a\)，\(b\) とするとき、\(a\) が \(3\) の倍数である事象を \(A\) とし、\(ab\) が \(25\) 未満である事象を \(B\) とする。\(A\) と \(B\) が独立か従属か判定せよ。

袋 \({\rm A}\) の中には当たり \(2\) 本とはずれ \(3\) 本のくじが、袋 \({\rm B}\) の中には当たり \(3\) 本とはずれ \(2\) 本のくじが入っている。袋 \({\rm A}\) から \(2\) 本同時に引いたときの当たりの本数を \(X\) とし、袋 \({\rm B}\) から \(2\) 本同時に引いたときの当たりの本数を \(Y\) とする。

（１）\(E(X)\) と \(E(Y)\) を求めよ。

（２）\(E(3X-2Y)\) と \(E(XY)\) を求めよ。

当たり \(4\) 本、はずれ \(12\) 本のくじから \(1\) 本引きいて元に戻す操作を \(10\) 回行う。当たりを引く回数を \(X\) とするとき、\(X\) の期待値と分散を求めよ。

\(1\) 個のさいころを \(3\) 回投げ

• \(1\) 回目に出た目を \(2\) で割った余りを \(X\)
• \(2\) 回目に出た目を \(3\) で割った余りを \(Y\)
• \(3\) 回目に出た目を \(5\) で割った余りを \(Z\)

とおく。点 \({\rm O}\) を原点とする座標空間の点 \({\rm P}\) の座標を \((X,Y,Z)\) としたとき、\({\rm OP}^2\) の期待値を求めよ。

\(100\) 本のうち、\(a\) 本が当たりのくじがある。このくじを無作為に \(1\) 本引き、当たりか否かを確認して元に戻す操作を \(n\) 回繰り返す。当たりを引いた回数 \(X\) の従う分布の平均が \(\displaystyle \frac{9}{5}\)、分散が \(\displaystyle \frac{36}{25}\) であるとする。このとき、\(a\) と \(n\) の値を求めよ。

袋に赤球 \(3\) 個と白球 \(17\) 個が入っている。この袋から無作為に \(1\) 個の球を取り出し、色を確認して戻す操作を \(10\) 回繰り返す。このとき、赤球が出た回数が \(k\) ならば \(50k\) 円を受け取るというゲームを考える。参加料が \(10a\) 円であるとき、参加者が損になるような自然数 \(a\) の最小値を求めよ。

確率変数 \(X\) の確率密度関数 \(f(x)\) が以下で与えられるとき、正の定数 \(a\) の値を求めよ。

\begin{align}
f(x)=\begin{cases}
ax(3-x)&(0\leq x\leq 3)\\
0&(x<0, 3<x)
\end{cases}
\end{align}

また、この確率変数 \(X\) の期待値と分散を求めよ。

ある高校の \(2\) 年生男子の身長 \(X\) が、平均 \(171.3\,{\rm cm}\)、標準偏差 \(5.0\,{\rm cm}\) の正規分布に従うものとする。このとき、以下の問に答えよ。但し、小数第 \(2\) 位を四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ。

（１）身長 \(178\,{\rm cm}\) 以上の生徒は約何％いるか。

（２）身長 \(160\,{\rm cm}\) 以上 \(170\,{\rm cm}\) 以下の生徒は約何％いるか。

（３）身長の高い方から \(5\) ％の中に入るのは約何 \({\rm cm}\) 以上の生徒か。

「次の \(4\) つの選択肢のうち正しいものを \(1\) つ選べ。」という問題がある。解答者 \(1200\) 人がそれぞれ無作為に選択肢を \(1\) つずつ選ぶとする。このとき、正しい選択肢を選んだ人が \(240\) 人以上 \(315\) 人以下となる確率を求めよ。但し、小数第 \(3\) 位を四捨五入して小数第 \(2\) 位まで求めよ。

有限の母集団の変量 \(x\) が以下の分布をなしているとする。

この母集団から復元抽出によって得られた大きさ \(20\) の無作為標本を $$X_1, X_2, \cdots, X_{20}$$ とし、その標本平均を \(\overline{X}\) とする。\(\overline{X}\) の期待値と標準偏差を求めよ。

有限の母集団 \(\{1,1,2,3\}\) から非復元抽出によって得られた大きさ \(2\) の標本 \((X_1,X_2)\) を考える。このとき、標本平均 \(\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2}{2}\) の確率分布を求めよ。

\(1\) 個のさいころを \(1000\) 回投げる。このとき、出る目の平均 \(\overline{X}\) の期待値と標準偏差を求めよ。

ある県において、新生児の男子と女子の割合は等しいことが知られている。ある年の新生児の中から無作為に \(n\) 人抽出するとき、\(k\) 番目の新生児が男なら \(1\)、女なら \(0\) を対応させる確率変数を \(X_k\) とする。

（１）標本平均 \(\overline{X}\) の期待値 \(E(\overline{X})\) を求めよ。

（２）標本平均 \(\overline{X}\) の標準偏差 \(\sigma(\overline{X})\) を \(0.04\) 以下にするためには、標本の大きさ \(n\) はいくつ以上にする必要があるか。

ある市において、市議会議員選挙の投票率は例年 \(50\)％であることがわかっている。ある選挙後、市民から無作為に \(100\) 人抽出するとき、投票に行った割合を \(R\) とする。

（１）標本比率 \(R\) の期待値 \(E(R)\) と標準偏差 \(\sigma(R)\) を求めよ。

（２）標本比率 \(R\) が \(41\) ％以上 \(50\) ％以下である確率を求めよ。

体重が \(8.0\,{\rm kg}\)、標準偏差 \(0.4\,{\rm kg}\) の正規分布に従う生物集団があるとする。

（１）体重が \(7.2\,{\rm kg}\) から \(8.4\,{\rm kg}\) までのものは全体の何%であるか。

（２）\(4\) つの個体を無作為に取り出したとき、体重の標本平均が \(5.2\,{\rm kg}\) 以上となる確率を求めよ。

当たりが \(1\) 本、はずれが \(7\) 本のくじを考える。このくじを \(1\) 本引いて元に戻す操作を \(n\) 回繰り返したとき、当たりが出る相対度数を \(R\) とする。このとき、確率 $$P\left(\left|R-\frac{1}{8}\right|\leq\frac{1}{40}\right)$$ の値を、\(n=175,700,1575\) それぞれに対して求めよ。

ある工場から出荷された塩の袋の中から無作為に \(100\) 個を抽出したところ、質量の平均は \(500.7\,{\rm g}\) であった。質量の母標準偏差を \(9.8\,{\rm g}\) として、\(1\) 袋あたりの質量の平均値を信頼度 \(95\)％で推定せよ。

ある正方形の \(1\) 辺の長さを \(400\) 回測定したところ、平均値 \(10.4\,{\rm cm}\)、標準偏差 \(0.2\,{\rm cm}\) であった。この正方形の面積を信頼度 \(95\)％で推定せよ。

さいころを投げて、\(1\) の目が出る確率を信頼度 \(95\)％で推定する。

（１）\(500\) 回投げたとき、\(1\) の目が出る確率の信頼区間を求めよ。（小数第\(4\)位を四捨五入せよ。）

（２）信頼区間の幅が \(0.07\) 以下になるには、さいころを少なくとも何回以上投げればよいか。

ある \(1\) 個のコインを \(400\) 回投げたところ、表が \(178\) 回出た。このコインの表が出る確率は \(\displaystyle \frac{1}{2}\) ではないと判断してよいか。有意水準 \(5\)％で検定せよ。

発芽率が \(60\)％の種子に対して、発芽率が向上するように品種改良を行なった。改良後の種子から無作為に \(600\) 個抽出して種を蒔いたところ、\(384\) 個が発芽した。品種改良によって発芽率は向上したと判断してよいか。次の有意水準で検定せよ。

（１）有意水準 \(5\)％

（２）有意水準 \(1\)％

ある数学の試験を全国の高校を対象に行ったところ、全国の平均点は \(54.2\) 点であった。ある \({\rm M}\) 高校の生徒から \(100\) 人を抽出したところ、その平均点は \(52.0\) 点で、標準偏差は \(12.0\) であった。このとき、\({\rm M}\) 高校全体の平均点は、全国の平均点と異なると判断してよいか。有意水準 \(5\)％で検定せよ。