【東京大学-理系】第３問「長さを決める変数を上手く取り直す。」解答・解説［過去問 2023年度］

\(C\) 上の点は、\(0\leq\theta<2\pi\) なる実数 \(\theta\) を用いて
\begin{align}
(\cos\theta,a+\sin\theta)
\end{align}と書ける。

これが領域 \(y>x^2\) に含まれるのは \(a+\sin\theta>\cos^2\theta\) となるとき。よって、
\begin{gather}
a+\sin\theta>\cos^2\theta\\
a+\sin\theta>1-\sin^2\theta\\
\sin^2\theta+\sin\theta+a-1>0\\
(2\sin\theta+1)^2>5-4a
\end{gather}となる。これが \(-1\leq\sin\theta\leq1\) で常に成り立つのは \(5-4a<0\) すなわち \(\displaystyle a>\frac{5}{4}\) のときである。

\(S\) 上の点 \({\rm P}\) は、\(\displaystyle 0<\theta\leq\frac{\pi}{2}\) なる実数 \(\theta\) を用いて
\begin{align}
{\rm P}(\cos\theta,a-\sin\theta)
\end{align}と書ける。

また、この点 \({\rm P}\) における \(C\) の接線 \(l_{\rm P}\) の方程式は
\begin{align}
(\cos\theta)x-(\sin\theta)y=1-a\sin\theta
\end{align}と書ける。ここで、\(y=x^2\) とすると
\begin{align}
(\cos\theta)x-(\sin\theta)x^2&=1-a\sin\theta
\end{align}すなわち

\begin{align}
(\sin\theta)x^2-(\cos\theta)x+(1-a\sin\theta)&=0
\end{align}

となる。今、\(0<\sin\theta\leq1\) である。

（１）より、この \(x\) の \(2\) 次方程式は異なるふたつの実数解 \(\alpha\)，\(\beta\) を持つ。但し、\(\alpha<\beta\) とする。

このとき、

\begin{align}
{L_{\rm P}}^2
&=\left\{\frac{1}{\sin\theta}\times(\beta-\alpha)\right\}^2\\
&=\frac{1}{\sin^2\theta}\times(\beta-\alpha)^2\\
&=\frac{1}{\sin^2\theta}\times\left\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\right\}\\
&=\frac{1}{\sin^2\theta}\times\left\{\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2-4\frac{1-a\sin\theta}{\sin\theta}\right\}\\
&=\frac{1}{\sin^2\theta}\times\left(\frac{1}{\sin^2\theta}-\frac{4}{\sin\theta}+4a-1\right)
\end{align}

である。\(\displaystyle t=\frac{1}{\sin\theta}\) とおくと \(t\geq1\) であって
\begin{align}
{L_{\rm P}}^2
&=t^2\times\left(t^2-4t+4a-1\right)
\end{align}となる。よって、両辺を \(t\) で微分すると

\begin{gather}
2L_{\rm P}\frac{dL_{\rm P}}{dt}=2t\times\left(t^2-4t+4a-1\right)+t^2\times\left(2t-4\right)
\end{gather}

すなわち
\begin{gather}
L_{\rm P}\frac{dL_{\rm P}}{dt}=t\left\{2t^2-6t+(4a-1)\right\}
\end{gather}となる。

条件を満たすのは、\(t>1\) の範囲で \(\displaystyle \frac{dL_{\rm P}}{dt}\) の符号が変わるときである。今、\(L_{\rm P}>0\) かつ \(t>0\) なので、\(2t^2-6t+(4a-1)\) の符号が変われば良い。

そこで $$f(t)=2t^2-6t+(4a-1)$$ とおくと
\begin{gather}
f(t)=2\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+4a-\frac{11}{2}
\end{gather}であって、\(\displaystyle\frac{3}{2}>1\) である。よって、\(f(t)\) は \(\displaystyle t=\frac{3}{2}\) のときに最小値 \(\displaystyle 4a-\frac{11}{2}\) をとる。これが負であれば良いので \(\displaystyle 4a-\frac{11}{2}<0\) すなわち \(\displaystyle a<\frac{11}{8}\) となる。

以上より、（１）の範囲と合わせて $$\frac{5}{4}<a<\frac{11}{8}$$ を得る。