【東京大学-理系】第５問「多項式の合同式に微分法を応用する。」解答・解説［過去問 2023年度］

東京大学第５問（2023年度前期理系）

整式 $f(x)=(x-1)^2(x-2)$ を考える。

（１）$g(x)$ を実数を係数とする整式とし、$g(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $r(x)$ とおく。$g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りが等しいことを示せ。

（２）$a$，$b$ を実数とし、$h(x)=x^2+ax+b$ とおく。$h(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_1(x)$ とおき、$h_1(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_2(x)$ とおく。$h_2(x)$ が $h(x)$ に等しくなるような $a$，$b$ の組をすべて求めよ。

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【解答例】
1. （１）
2. （２）
考察と感想
1. （１）について
2. （２）について

【解答例】

（１）

$g(x)-r(x)$ は $f(x)$ で割り切れるので、実数係数の整式 $q(x)$ が存在して
\begin{align}
g(x)=f(x)q(x)+r(x)
\end{align}と書ける。この両辺を $7$ 乗すると、二項定理より

\begin{align}
g(x)^7
&=\sum_{k=0}^7{}_7{\rm C}_k (f(x)q(x))^kr(x)^{7-k}\\
&=f(x)\left(\sum_{k=1}^7{}_7{\rm C}_k f(x)^{k-1}q(x)^kr(x)^{7-k}\right)+r(x)^7
\end{align}

となる。これより、$g(x)^7-r(x)^7$ は $f(x)$ で割り切れるので、$g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りは等しい。

（２）

まず、$h(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りが $h_1(x)$ であるので、（１）より $\{h(x)^7\}^7=h(x)^{49}$ を $f(x)$ で割った余りと $h_1(x)^7$ を $f(x)$ で割った余り $h_2(x)$ は等しい。

ここで、$h(x)$ の次数は $f(x)$ の次数より低いので、$h(x)^{49}-h(x)$ が $f(x)$ で割り切れれば $h(x)$ は余り $h_2(x)$ に一致する。逆に、$h(x)$ が余り $h_2(x)$ に一致すれば $h(x)^{49}-h(x)$ は $f(x)$ で割り切れる。

よって、整式 $h(x)^{49}-h(x)$ が $f(x)$ で割り切れるような実数 $a$，$b$ の組を求めれば良い。

さて、$h(x)^{49}-h(x)$ が $f(x)$ で割り切れるとき
\begin{align}
h(x)^{49}-h(x)=f(x)p(x)\tag{1}
\end{align}となるような実数係数の整式 $p(x)$ が存在する。また、この両辺を $x$ に関して微分すると

\begin{align}
(49h(x)^{48}-1)h^\prime(x)=f^\prime(x)p(x)+f(x)p^\prime(x)\tag{2}
\end{align}

が成り立つ。このとき、$f(1)=f(2)=0$ である。また、
\begin{align}
f^\prime(x)=2(x-1)(x-2)+(x-1)^2
\end{align}より $f^\prime(1)=0$ である。

式 (1) で $x=1$ とすると $h(1)^{49}-h(1)=f(1)p(1)$ すなわち
\begin{align}
h(1)(h(1)^{48}-1)=0\tag{3}
\end{align}
式 (1) で $x=2$ とすると、同様に
\begin{align}
h(2)(h(2)^{48}-1)=0\tag{4}
\end{align}
式 (2) で $x=1$ とすると $$(49h(1)^{48}-1)h^\prime(1)=f^\prime(1)p(1)+f(1)p^\prime(1)$$ すなわち
\begin{align}
(49h(1)^{48}-1)h^\prime(1)=0\tag{5}
\end{align}

さて、方程式 $$t(t^{48}-1)=0$$ の実数解は $0, 1, -1$ のみである。式 (3)，(4) において、$h(1)$ と $h(2)$ もこの実数解のいずれかになるので $$h(1), h(2)\in\{0, 1, -1\}$$ である。このとき、式 (5) において $49h(1)^{48}-1$ が $0$ になることはないので
\begin{gather}
h^\prime(1)=0\\
2+a=0\\
a=-2
\end{gather}である。このとき、
\begin{align}
h(1)&=1-2+b=b-1,\\
h(2)&=4-4+b=b
\end{align}より $$b-1, b\in\{0, 1, -1\}$$ すなわち $b=0,1$ である。

逆に、$(a,b)=(-2,0),(-2,1)$ のとき、実数係数の整式 $H(x)=h(x)^{49}-h(x)$ について
\begin{align}
\begin{cases}
H(1)=0\\
H^\prime(1)=0\\
H(2)=0
\end{cases}
\end{align}なので、$H(x)$ は $(x-1)^2(x-2)$ で割り切れる。すなわち、$h(x)^{49}-h(x)$ は $f(x)$ で割り切れる。

以上より、$$(a,b)=(-2,0),(-2,1)$$ である。

考察と感想

（１）について

整数の場合と同じアイデアです。特に合同式に関する証明をしたことがある方は、やりやすかったと思います。ここで、整式 $f(x)$ の具体的な形は用いておらず、一般論です。

合同式の形で記述してみると、$g(x)$ を $f(x)$ で割った余りが $r(x)$ なので
\begin{align}
g(x)\equiv r(x)\pmod{f(x)}
\end{align}となります。この両辺を $7$ 乗することで
\begin{align}
g(x)^7\equiv r(x)^7\pmod{f(x)}
\end{align}を得ます。$r(x)^7$ の次数が $f(x)$ の次数以上になっている可能性があるので「$g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りが $r(x)^7$ である」とは必ずしも言えません。このことから、今回のような “各々の余りが一致する” という結論を得ます。除法の原理による、余りに関する次数の条件を忘れてはいけません。

（２）について

整式 $f(x)$ を法とすると、（１）より $$h(x)^{49}\equiv h_2(x)$$ であることがわかります。ここで、右辺は余り $h_2(x)$ である必要はないですが、$h(x)$ の次数も $f(x)$ の次数より低いことから、$h_2(x)=h(x)$ であるためには $h_2(x)\equiv h(x)$ が必要十分になります。

ここで、$h(x)^{49}\equiv h_2(x)$ より $h_2(x)\equiv h(x)$ は $$h(x)^{49}\equiv h(x)$$ を意味するので $H(x)=h(x)^{49}-h(x)$ が $f(x)=(x-1)^2(x-2)$ で割り切れる条件を考えます。

ここで、
\begin{align}
&H(x)\equiv0\mod{(x-1)^2(x-2)}\\ \\
&\Longleftrightarrow\ \begin{cases}
H(x)\equiv0\mod{(x-1)^2}\\
H(x)\equiv0\mod{(x-2)}
\end{cases}\\ \\
&\Longleftrightarrow\ \begin{cases}
H(x)\equiv0\mod{(x-1)}\\
H^\prime(x)\equiv0\mod{(x-1)}\\
H(x)\equiv0\mod{(x-2)}
\end{cases}\\ \\
&\Longleftrightarrow\ \begin{cases}
H(1)=0\\
H^\prime(1)=0\\
H(2)=0
\end{cases}
\end{align}と条件を書き換えることができます。