【東京大学-理系】第６問「図を描き、どう求めるか冷静に判断！」解答・解説［過去問 2023年度］

条件（i）より、点 \({\rm P}\) は立方体の全ての頂点を通り原点を中心とする球面、及び、その内部に存在する。

条件（ii）より、点 \({\rm P}\) が立方体の外部に出るのは線分 \({\rm OP}\) が立方体の表面のうち \(z=1\) なる面と点 \({\rm P}\) 以外で共有点を持つときのみである。

立方体の \(6\) 面についての対称性より、\(V\) の体積は
\begin{align}
&\frac{4\pi}{3}\times\left(\sqrt{3}\right)^3\times\frac{1}{6}+2^3\times\frac{5}{6}\\
&\quad=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi+\frac{20}{3}
\end{align}である。

（１）に対して、線分 \({\rm OP}\) が途中の点 \({\rm N}\) で折れ曲がることを許すので、点 \({\rm P}\) の存在し得る範囲は広がる。

立方体の \(2\) 頂点 \({\rm X}(1,1,1)\)，\({\rm Y}(1,-1,1)\) と原点 \({\rm O}\) を通る平面を \(\beta\) とおく。このとき、\(V\) と \(\beta\) の共有部分で、立方体の外部にある部分 \(U\) を考え、その回転体の体積を求める。

平面 \(\beta\) 上で原点を中心とする半径 \(\sqrt{3}\) の円を考え、点 \({\rm P}\) がその円周上にあるときを考える。

点 \({\rm P}\) の \(y\) 座標を \(t\) とすると \(-1\leq t\leq1\) である。また、点 \({\rm P}\) から辺 \({\rm XY}\) に下ろした垂線の足を \({\rm Q}\) とおく。このとき、
\begin{align}
{\rm PQ}=\sqrt{3-t^2}-\sqrt{2}
\end{align}であるので
\begin{align}
{\rm PQ}^2
&=(3-t^2)-2\sqrt{2}\sqrt{3-t^2}+2\\
&=5-2\sqrt{2}\sqrt{3-t^2}-t^2
\end{align}である。

ここで、平面 \(\beta\) と立方体の表面のうち \(x=1\) なる面①のなす角は \(2\pi\) の \(\displaystyle \frac{3}{8}\) である。

よって、\(U\) の回転体と同じ立体を \(4\) 箇所で考えるので、\(W\) から \(V\) を除いた部分の体積は

\begin{align}
&\pi\int_{-1}^1\left(5-2\sqrt{2}\sqrt{3-t^2}-t^2\right)dt\times\frac{3}{8}\times4\\
&\quad=3\pi\int_0^1\left(5-2\sqrt{2}\sqrt{3-t^2}-t^2\right)dt\\
&\quad=3\pi\left(5-2\sqrt{2}\int_0^1\sqrt{3-t^2}dt-\frac{1}{3}\right)\\
&\quad=\left(14-6\sqrt{2}\int_0^1\sqrt{3-t^2}dt\right)\pi
\end{align}

となる。

今、

\begin{align}
\int_0^1\sqrt{3-t^2}dt
&=\frac{\alpha}{2}\times\left(\sqrt{3}\right)^2+1\times\sqrt{2}\times\frac{1}{2}\\
&=\frac{3}{2}\alpha+\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}

である。

よって、\(W\) の体積は

\begin{align}
&\left(\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}+\frac{20}{3}\right)+\left\{14-6\sqrt{2}\left(\frac{3}{2}\alpha+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}\pi\\
&\quad=\left(\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}+\frac{20}{3}\right)+\left(8-9\sqrt{2}\alpha\right)\pi\\
&\quad=\frac{20}{3}+\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+8\right)\pi-9\sqrt{2}\pi\alpha
\end{align}

である。