【数学II】積分して二項係数の和を計算 6種類！「分母の多項式を上手く作る。」

数学IIで習う 二項係数 \({}_{n}{\rm C}_{k}\) の和を求めます。今回は、数学IIIで学ぶ高次の項の定積分

\begin{align}
\int_0^t x^k dx&=\frac{t^{k+1}}{k+1}&&(k=0,1,2,\cdots)
\end{align}

を用います。今回、上記の \(t\) を改めて \(x\) とおく計算として

\begin{align}
\int_0^x x^k dx&=\frac{x^{k+1}}{k+1}&&(k=0,1,2,\cdots)
\end{align}

と書くことにします。これにより、以下の「多項式の積分」を扱ってゆきたいと思います。

他の公式は以下の リンク を参照してください。

【二項係数の公式】30種類以上の一覧！和などの計算による等式の証明への利用。

数学IIで習う二項係数 nCk について、和の計算など、等式の証明へ利用できる公式をまとめました。他にも紹介できる公式がありましたらコメント等で教えてください。証明では、微積分、多項式の値の代入や係数比較など、いくつかの手法を採用します。

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積分法を用いた和の計算

\({}_{n}{\rm C}_{k}/(k+1)\)

証明の一例（その１）
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \frac{{}_{n}{\rm C}_{k}}{k+1}
&=\sum_{k=0}^n \frac{{}_{n+1}{\rm C}_{k+1}}{n+1}\\
&=\sum_{k=-1}^n \frac{{}_{n+1}{\rm C}_{k+1}}{n+1}-\frac{{}_{n+1}{\rm C}_{0}}{n+1}\\
&=\frac{2^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{n+1}\\
&=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}
\end{align}

証明の一例（その２）
二項定理より
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k=(1+x)^n
\end{align}
が成り立つ。両辺を区間 \([0,x]\) で積分すると
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}x^{k+1}
&=\int_0^x (1+x)^n dx\\
&=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1}
\end{align}
となる。これに \(x=1\) を代入することで
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}
=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}
\end{align}
を得る。

\({}_{n}{\rm C}_{k}/(k+1)(k+2)\)

証明の一例（その１）
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{{}_{n}{\rm C}_{k}}{(k+1)(k+2)}\\
&\qquad=\sum_{k=0}^n \frac{{}_{n+2}{\rm C}_{k+2}}{(n+1)(n+2)}\\
&\qquad=\sum_{k=-2}^n \frac{{}_{n+2}{\rm C}_{k+2}}{(n+1)(n+2)}-\frac{{}_{n+2}{\rm C}_{0}+{}_{n+2}{\rm C}_{1}}{(n+1)(n+2)}\\
&\qquad=\frac{2^{n+2}}{(n+1)(n+2)}-\frac{n+3}{(n+1)(n+2)}\\
&\qquad=\frac{2^{n+2}-n-3}{(n+1)(n+2)}
\end{align}

証明の一例（その２）
二項定理より
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k=(1+x)^n
\end{align}
が成り立つ。両辺を区間 \([0,x]\) で \(2\) 回だけ積分すると
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)}\binom{n}{k}x^{k+2}\\
&\qquad=\int_0^x \frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1} dx\\
&\qquad=\frac{1}{n+1}\left\{\frac{(1+x)^{n+2}-1}{n+2}-x\right\}
\end{align}
となる。これに \(x=1\) を代入することで
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)}\binom{n}{k}\\
&\qquad=\frac{1}{n+1}\left(\frac{2^{n+2}-1}{n+2}-1\right)\\
&\qquad=\frac{2^{n+2}-n-3}{(n+1)(n+2)}
\end{align}
を得る。

\({}_{n}{\rm C}_{k}/(k+1)(k+2)(k+3)\)

証明の一例（その１）
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{{}_{n}{\rm C}_{k}}{(k+1)(k+2)(k+3)}\\
&\qquad=\sum_{k=0}^n \frac{{}_{n+3}{\rm C}_{k+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&\qquad=\sum_{k=-3}^n \frac{{}_{n+3}{\rm C}_{k+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)}-\frac{{}_{n+3}{\rm C}_{0}+{}_{n+3}{\rm C}_{1}+{}_{n+3}{\rm C}_{2}}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&\qquad=\frac{2^{n+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)}-\frac{n^2+7n+14}{2(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&\qquad=\frac{2^{n+4}-n^2-7n-14}{2(n+1)(n+2)(n+3)}
\end{align}

証明の一例（その２）
二項定理より
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k=(1+x)^n
\end{align}
が成り立つ。両辺を区間 \([0,x]\) で \(3\) 回だけ積分すると
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\binom{n}{k}x^{k+3}\\
&\qquad=\int_0^x \frac{1}{n+1}\left\{\frac{(1+x)^{n+2}-1}{n+2}-x\right\} dx\\
&\qquad=\frac{1}{n+1}\left[\frac{1}{n+2}\left\{\frac{(1+x)^{n+3}-1}{n+3}-x\right\}-\frac{x^2}{2}\right]
\end{align}
となる。これに \(x=1\) を代入することで
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\binom{n}{k}\\
&\qquad=\frac{1}{n+1}\left\{\frac{1}{n+2}\left(\frac{2^{n+3}-1}{n+3}-1\right)-\frac{1}{2}\right\}\\
&\qquad=\frac{2^{n+4}-n^2-7n-14}{2(n+1)(n+2)(n+3)}
\end{align}
を得る。

\((-1)^k{}_{n}{\rm C}_{k}/(k+1)\)

証明の一例（その１）
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k{}_{n}{\rm C}_{k}}{k+1}
&=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k{}_{n+1}{\rm C}_{k+1}}{n+1}\\
&=\sum_{k=-1}^n \frac{(-1)^k{}_{n+1}{\rm C}_{k+1}}{n+1}-\frac{-{}_{n+1}{\rm C}_{0}}{n+1}\\
&=0-\frac{-1}{n+1}\\
&=\frac{1}{n+1}
\end{align}

証明の一例（その２）
二項定理より
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k=(1+x)^n
\end{align}
が成り立つ。両辺を区間 \([0,x]\) で積分すると
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}x^{k+1}
&=\int_0^x (1+x)^n dx\\
&=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1}
\end{align}
となる。これに \(x=-1\) を代入することで
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}\binom{n}{k}
=\frac{1}{n+1}
\end{align}
を得る。

\((-1)^k{}_{n}{\rm C}_{k}/(k+1)(k+2)\)

証明の一例（その１）
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k{}_{n}{\rm C}_{k}}{(k+1)(k+2)}\\
&\qquad=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k{}_{n+2}{\rm C}_{k+2}}{(n+1)(n+2)}\\
&\qquad=\sum_{k=-2}^n \frac{(-1)^k{}_{n+2}{\rm C}_{k+2}}{(n+1)(n+2)}-\frac{{}_{n+2}{\rm C}_{0}-{}_{n+2}{\rm C}_{1}}{(n+1)(n+2)}\\
&\qquad=0-\frac{-n-1}{(n+1)(n+2)}\\
&\qquad=\frac{1}{n+2}
\end{align}

証明の一例（その２）
二項定理より
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k=(1+x)^n
\end{align}
が成り立つ。両辺を区間 \([0,x]\) で \(2\) 回だけ積分すると
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)}\binom{n}{k}x^{k+2}\\
&\qquad=\int_0^x \frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1} dx\\
&\qquad=\frac{1}{n+1}\left\{\frac{(1+x)^{n+2}-1}{n+2}-x\right\}
\end{align}
となる。これに \(x=-1\) を代入することで
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(k+1)(k+2)}\binom{n}{k}\\
&\qquad=\frac{1}{n+1}\left(\frac{-1}{n+2}+1\right)\\
&\qquad=\frac{1}{n+2}
\end{align}
を得る。

\((-1)^k{}_{n}{\rm C}_{k}/(k+1)(k+2)(k+3)\)

証明の一例（その１）
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k{}_{n}{\rm C}_{k}}{(k+1)(k+2)(k+3)}\\
&\qquad=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k{}_{n+3}{\rm C}_{k+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&\qquad=\sum_{k=-3}^n \frac{(-1)^k{}_{n+3}{\rm C}_{k+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)}-\frac{-{}_{n+3}{\rm C}_{0}+{}_{n+3}{\rm C}_{1}-{}_{n+3}{\rm C}_{2}}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&\qquad=0-\frac{-n^2-3n-2}{2(n+1)(n+2)(n+3)}\\
&\qquad=\frac{1}{2(n+3)}
\end{align}

証明の一例（その２）
二項定理より
\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k=(1+x)^n
\end{align}
が成り立つ。両辺を区間 \([0,x]\) で \(3\) 回だけ積分すると
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\binom{n}{k}x^{k+3}\\
&\qquad=\int_0^x \frac{1}{n+1}\left\{\frac{(1+x)^{n+2}-1}{n+2}-x\right\} dx\\
&\qquad=\frac{1}{n+1}\left[\frac{1}{n+2}\left\{\frac{(1+x)^{n+3}-1}{n+3}-x\right\}-\frac{x^2}{2}\right]
\end{align}
となる。これに \(x=-1\) を代入することで
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(k+1)(k+2)(k+3)}\binom{n}{k}\\
&\qquad=-\frac{1}{n+1}\left\{\frac{1}{n+2}\left(\frac{-1}{n+3}+1\right)-\frac{1}{2}\right\}\\
&\qquad=\frac{1}{2(n+3)}
\end{align}
を得る。