【数学B｜確率変数の和と積の計算】独立性と期待値・分散｜統計的な推測２／７

解答例

まず、\(a\) が \(3\) の倍数となるのは \(a=3,6\) のみなので $$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$ また、\(B\) の余事象 \(\overline{B}\) は \(ab\geq25\) であって、それは $$(a,b)=(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)$$ のみなので $$P(\overline{B})=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

次に、\(a\) が \(3\) の倍数で \(ab\geq25\) となるのは \((a,b)=(6,5),(6,6)\) のみなので $$P(A\cap\overline{B})=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$

よって、$$P(A\cap\overline{B})\neq P(A)P(\overline{B})$$ であるので、\(A\) と \(\overline{B}\) は従属である。すなわち、\(A\) と \(B\) は従属である。

解答例

（１）

袋 \({\rm A}\) について、

• \(\displaystyle P(X=0)=\frac{{}_3{\rm C}_2}{{}_5{\rm C}_2}=\frac{3}{10}\)
• \(\displaystyle P(X=1)=\frac{{}_2{\rm C}_1\times{}_3{\rm C}_1}{{}_5{\rm C}_2}=\frac{6}{10}\)
• \(\displaystyle P(X=2)=\frac{{}_2{\rm C}_2}{{}_5{\rm C}_2}=\frac{1}{10}\)

であるので、期待値は

\begin{align}
E(X)
&=\frac{1}{10}\left(0\cdot3+1\cdot6+2\cdot1\right)\\
&=\frac{8}{10}\\
&=\frac{4}{5}\quad(=0.8)
\end{align}

袋 \({\rm B}\) について、

• \(\displaystyle P(Y=0)=\frac{{}_2{\rm C}_2}{{}_5{\rm C}_2}=\frac{1}{10}\)
• \(\displaystyle P(Y=1)=\frac{{}_3{\rm C}_1\times{}_2{\rm C}_1}{{}_5{\rm C}_2}=\frac{6}{10}\)
• \(\displaystyle P(Y=2)=\frac{{}_3{\rm C}_2}{{}_5{\rm C}_2}=\frac{3}{10}\)

であるので、期待値は

\begin{align}
E(Y)
&=\frac{1}{10}\left(0\cdot1+1\cdot6+2\cdot3\right)\\
&=\frac{12}{10}\\
&=\frac{6}{5}\quad(=1.2)
\end{align}

（２）

まず、

\begin{align}
E(3X-2Y)
&=3E(X)-2E(Y)\\
&=3\cdot\frac{4}{5}-2\cdot\frac{6}{5}\\
&=0
\end{align}

次に、\(X\) と \(Y\) は互いに独立であるから

\begin{align}
E(XY)
&=E(X)E(Y)\\
&=\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\\
&=\frac{24}{25}
\end{align}

解答例

\(k\) 回目に当たりが出たら \(1\)、出なかったら \(0\) をとる確率変数を \(X_k\) とおく。このとき、$$X=X_1+X_2+\cdots+X_{10}$$ である。

例えば、\(X_1\) について

• \(\displaystyle P(X_1=0)=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\)
• \(\displaystyle P(X_1=1)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)

よって、$$E(X_1)=0\cdot\frac{3}{4}+1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$ また、\({X_1}^2=X_1\) であることに注意すれば

\begin{align}
V(X_1)
&=E({X_1}^2)-E(X_1)^2\\
&=E(X_1)-E(X_1)^2\\
&=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}\right)^2\\
&=\frac{3}{16}
\end{align}

これは \(X_k\)（\(k=2,3,\cdots,10\)）についても同様で

\begin{gather}
E(X_1)=E(X_2)=\cdots=E(X_{10})=\frac{1}{4},\\
V(X_1)=V(X_2)=\cdots=V(X_{10})=\frac{3}{16}
\end{gather}

を得る。

さて、$$X=X_1+X_2+\cdots+X_{10}$$ であるので

\begin{align}
E(X)
&=E(X_1+X_2+\cdots+X_{10})\\
&=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_{10})\\
&=10\times\frac{1}{4}\\
&=\frac{5}{2}\quad(=2.5)
\end{align}

また、\(X_1,X_2,\cdots,X_{10}\) は互いに独立なので

\begin{align}
V(X)
&=V(X_1+X_2+\cdots+X_{10})\\
&=V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_{10})\\
&=10\times\frac{3}{16}\\
&=\frac{15}{8}
\end{align}

解答例

• \(\displaystyle P(X=k)=\frac{3}{6}\)（\(k=0,1\)）なので
  \begin{align}
  E(X^2)
  &=(0^2+1^2)\cdot\frac{3}{6}\\
  &=\frac{3}{6}
  \end{align}
• \(\displaystyle P(Y=k)=\frac{2}{6}\)（\(k=0,1,2\)）なので
  \begin{align}
  E(Y^2)
  &=(0^2+1^2+2^2)\cdot\frac{2}{6}\\
  &=\frac{10}{6}
  \end{align}
• \(k=0,2,3,4\) のとき \(\displaystyle P(Z=k)=\frac{1}{6}\)、\(k=1\) のとき \(\displaystyle P(Z=k)=\frac{2}{6}\) なので
  \begin{align}
  E(Z^2)
  &=(0^2+2^2+3^2+4^2)\cdot\frac{1}{6}+1^2\cdot\frac{2}{6}\\
  &=\frac{31}{6}
  \end{align}

さて、\({\rm OP}^2=X^2+Y^2+Z^2\) であるので

\begin{align}
E({\rm OP}^2)
&=E(X^2)+E(Y^2)+E(Z^2)\\
&=\frac{3}{6}+\frac{10}{6}+\frac{31}{6}\\
&=\frac{44}{6}\\
&=\frac{22}{3}
\end{align}