【数学B｜二項分布と正規分布】中心極限定理による分布の近似｜統計的な推測３／７

解答例

\(1\) 回の操作で当たりを引く確率は \(\displaystyle p=\frac{a}{100}\) であるので、確率変数 \(X\) は二項分布 \(B(n,p)\) に従う。このとき、平均は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) である。

条件より

\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle np=\frac{9}{5}\\
\displaystyle np(1-p)=\frac{36}{25}
\end{cases}
\end{align}

ここで \(np\) を消去すると \(\displaystyle p=\frac{1}{5}\) となり \(0<p<1\) を満たす。よって、

\begin{align}
a&=100p=20,&
n&=\frac{9}{5}\times\frac{1}{p}=9
\end{align}

解答例

\(1\) 回の操作で赤球を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{3}{20}\) である。赤球が出た回数 \(X\) は二項分布 \(B(10,\frac{3}{20})\) に従う。このとき、平均は $$E(X)=10\times\frac{3}{20}=\frac{3}{2}$$ である。

今、受け取るのは \(50X\) 円なので、その金額の期待値は $$E(50X)=50\times\frac{3}{2}=75$$ である。よって、\(10a>75\) なる最小の自然数 \(a\) は \(8\) である。

解答例

確率の総和は \(1\) なので

\begin{align}
1
&=\int_0^3f(x)dx\\
&=a\int_0^3x(3-x)dx\\
&=a\int_0^3(3x-x^2)dx\\
&=a\left[\frac{3}{2}x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^3\\
&=a\left(\frac{27}{2}-9\right)\\
&=\frac{9}{2}a
\end{align}

よって、\(\displaystyle a=\frac{2}{9}\) である。

まず、

\begin{align}
E(X)
&=\int_0^3xf(x)dx\\
&=\frac{2}{9}\int_0^3x^2(3-x)dx\\
&=\frac{2}{9}\int_0^3(3x^2-x^3)dx\\
&=\frac{2}{9}\left[x^3-\frac{x^4}{4}\right]_0^3\\
&=\frac{2}{9}\left(3^3-\frac{3^4}{4}\right)\\
&=\frac{3}{2}
\end{align}

また、

\begin{align}
E(X^2)
&=\int_0^3x^2f(x)dx\\
&=\frac{2}{9}\int_0^3x^3(3-x)dx\\
&=\frac{2}{9}\int_0^3(3x^3-x^4)dx\\
&=\frac{2}{9}\left[\frac{3}{4}x^4-\frac{x^5}{5}\right]_0^3\\
&=\frac{2}{9}\left(\frac{3^5}{4}-\frac{3^5}{5}\right)\\
&=\frac{27}{10}
\end{align}

よって、期待値と分散は

\begin{align}
E(X)&=\frac{3}{2},\\
V(X)&=\frac{27}{10}-\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{20}
\end{align}

解答例

（１）まず、$$Z=\frac{X-171.3}{5.0}$$ は標準正規分布 \(N(0,1)\) に従う。これより、

\begin{align}
P(X\geq178)
&=P(Z\geq1.34)\\
&=0.5-P(0\leq Z<1.34)\\
&=0.5-0.4099\\
&=0.0901
\end{align}

よって、約 \(9.0\) ％である。

（２）（１）の \(Z\) について

\begin{align}
P(160 \leq X \leq 170)
&=P(-2.26\leq Z\leq -0.26)\\
&=P(0\leq Z\leq 2.26)-P(0\leq Z\leq 0.26)\\
&=0.4881-0.1026\\
&=0.3855
\end{align}

よって、約 \(38.6\) ％である。

（３）\(P(0\leq Z\leq u)=0.45\) とすると \(u≒1.64\) であるので

\begin{align}
X
&\geq 171.3+1.64\times5.0\\
&=171.3+8.20\\
&=179.50
\end{align}

よって、約 \(179.5\,{\rm cm}\) 以上である。

解答例

\(1\) 人の解答者が正しい選択肢を選ぶ確率は \(\displaystyle \frac{1}{4}\) である。正しい選択肢を選んだ人数 \(X\) は二項分布 $$B\left(1200,\frac{1}{4}\right)$$ に従う。このとき、期待値と分散は

\begin{align}
E(X)&=1200\times\frac{1}{4}=300\\
V(X)&=1200\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}=225=15^2
\end{align}

よって、確率変数 \(\displaystyle Z=\frac{X-300}{15}\) は近似的に正規分布 $$N\left(0,1\right)$$ に従う。

これより、求める確率は

\begin{align}
P(270\leq X\leq 315)
&=P(-2\leq Z\leq 1)\\
&=P(0\leq Z\leq 2)+P(0\leq Z\leq 1)\\
&=0.4772+0.3413\\
&=0.8185\\
&≒0.82
\end{align}