【数学B｜母集団と標本】標本平均の期待値・分散・標準偏差｜統計的な推測４／７

解答例

母平均 \(m\) は

\begin{align}
m
&=\frac{1}{25}\left(1\cdot13+2\cdot4+3\cdot8\right)\\
&=\frac{45}{25}\\
&=\frac{9}{5}
\end{align}

また、母標準偏差 \(\sigma\) は

\begin{align}
\sigma
&=\sqrt{\frac{1}{25}\left(1^2\cdot13+2^2\cdot4+3^2\cdot8\right)-\left(\frac{9}{5}\right)^2}\\
&=\sqrt{\frac{20}{25}}\\
&=\frac{2\sqrt{5}}{5}
\end{align}

よって、標本平均を \(\overline{X}\) の期待値と標準偏差は

\begin{gather}
E(\overline{X})=m=\frac{9}{5}\\
\sigma(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{20}}=\frac{1}{5}
\end{gather}

解答例

標本平均 \(\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2}{2}\) を計算すると、下の表のようになる。

よって、各マスは等確率で起こるので、\(\overline{X}\) の確率分布は以下のようになる。

解答例

さいころを \(1\) 回投げるときに出る目を \(X\) とする。このとき、

\begin{align}
P(X=k)&=\frac{1}{6}&&(k=1,2,\cdots,6)
\end{align}

である。よって、

\begin{align}
E(X)
&=\sum_{k=1}^6 k\frac{1}{6}\\
&=\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}\cdot6\cdot7\\
&=\frac{7}{2}
\end{align}

また、

\begin{align}
E(X^2)
&=\sum_{k=1}^6 k^2\frac{1}{6}\\
&=\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\cdot6\cdot7\cdot13\\
&=\frac{91}{6}
\end{align}

より

\begin{align}
V(X)
&=E(X^2)-E(X)^2\\
&=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2\\
&=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}\\
&=\frac{35}{12}
\end{align}

この \(X\) の分布は母集団分布に一致する。

さて、さいころは \(1000\) 回投げていて、その標本平均が \(\overline{X}\) なので

\begin{align}
E(\overline{X})=\frac{7}{2}
\end{align}

また、\(\displaystyle V(\overline{X})=\frac{1}{1000}\cdot\frac{35}{12}\) より

\begin{align}
\sigma(\overline{X})=\sqrt{\frac{1}{1000}\cdot\frac{35}{12}}=\frac{\sqrt{42}}{120}
\end{align}

解答例

（１）母平均 \(m\) は

\begin{align}
m
&=0\cdot0.5+1\cdot0.5\\
&=0.5
\end{align}

である。よって、求める期待値は

\begin{align}
E(\overline{X})=m=0.5
\end{align}

（２）母分散 \(\sigma^2\) は

\begin{align}
\sigma^2
&=(0^2\cdot0.5+1^2\cdot0.5)-0.5^2\\
&=0.5-0.25\\
&=0.25
\end{align}

よって、標本分散は

\begin{align}
\sigma^2(\overline{X})=\frac{0.25}{n}
\end{align}

これが \(0.04^2\) 以下になれば良いので

\begin{align}
\frac{0.25}{n}&\leq0.04^2\\
\frac{1}{4n}&\leq\frac{1}{625}\\
n&\geq\frac{625}{4}=156.25
\end{align}

これより、\(n\) は \(157\) 以上である必要がある。