【数学B｜標本平均の分布と正規分布】中心極限定理と標準化｜統計的な推測５／７

解答例（その１）

（１）母比率は \(0.5\)、標本の大きさは \(100\) である。よって、標本比率 \(R\) の期待値は $$E(R)=0.5$$ である。また、標準偏差は $$\sigma(R)=\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{100}}=\frac{0.5}{10}=0.05$$

（２）（１）より $$Z=\frac{R-0.5}{0.05}$$ は近似的に標準正規分布 \(N(0,1)\) に従う。よって、求める確率は

\begin{align}
P(0.41 \leq R \leq 0.50)
&=P(-1.8 \leq Z \leq 0)\\
&=0.4641
\end{align}

解答例（その２）

（１）\(100\) 人中 \(X\) 人が投票に行ったとする。このとき、\(X\) は二項分布 \(B(100,0.5)\) に従う。よって、

\begin{align}
E(X)&=100\cdot0.5=50\\
\sigma(X)&=\sqrt{100\cdot0.5\cdot(1-0.5)}=5
\end{align}

ここで、\(\displaystyle R=\frac{X}{100}\) なので

\begin{align}
E(R)&=\frac{50}{100}=0.5\\
\sigma(R)&=\frac{5}{100}=0.05
\end{align}

（２）（その１と同様。）

解答例

（１）母集団は正規分布 \(N(8.0,0.4^2)\) に従う。 生物集団の体重を \(X\,{\rm kg}\) とすると $$Z=\frac{X-8.0}{0.4}$$ は標準正規分布 \(N(0,1)\) に従う。よって、

\begin{align}
P(7.2 \leq X \leq 8.4)
&=P(-2 \leq Z \leq 1)\\
&=0.4772+0.3413\\
&=0.8185
\end{align}

であるので、\(81.85\)％である。

（２）標本平均を \(\overline{X}\) は、正規分布 \(\displaystyle N\left(8.0,\frac{0.4^2}{4}\right)\) に従う。よって、$$Z=\frac{\overline{X}-8.0}{0.2}$$ は標準正規分布 \(N(0,1)\) に従うので、求める確率は

\begin{align}
P(\overline{X} \geq 5.2)
&=P(Z \geq 1.4)\\
&=0.5-0.4192\\
&=0.0808
\end{align}

解答例

標本の大きさ \(n\) は十分大きいので、相対度数 \(R\) は近似的に正規分布 $$N\left(\frac{1}{8},\frac{1}{8}\left(1-\frac{1}{8}\right)\cdot\frac{1}{n}\right)$$ すなわち $$N\left(\frac{1}{8},\frac{7}{64n}\right)$$ に従う。よって、$$Z=\frac{R-\frac{1}{6}}{\frac{1}{8}\sqrt{\frac{7}{n}}}$$ は近似的に標準正規分布 \(N\left(0,1\right)\) に従う。

このとき、

\begin{align}
P\left(\left|R-\frac{1}{8}\right|\leq\frac{1}{40}\right)
&=P\left(\left|Z\right|\leq\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{8}\sqrt{\frac{7}{n}}}\right)\\
&=P\left(\left|Z\right|\leq\frac{1}{5}\sqrt{\frac{n}{7}}\right)
\end{align}

これより、

• \(n=175\) のとき \(\displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{\frac{n}{7}}=1\) なので $$P\left(\left|R-\frac{1}{8}\right|\leq\frac{1}{40}\right)=P\left(\left|Z\right|\leq1\right)=0.6826$$
• \(n=700\) のとき \(\displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{\frac{n}{7}}=2\) なので $$P\left(\left|R-\frac{1}{8}\right|\leq\frac{1}{40}\right)=P\left(\left|Z\right|\leq2\right)=0.9544$$
• \(n=1575\) のとき \(\displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{\frac{n}{7}}=3\) なので $$P\left(\left|R-\frac{1}{8}\right|\leq\frac{1}{40}\right)=P\left(\left|Z\right|\leq3\right)=0.9973$$