【数学B｜母平均の推定・母比率の推定】信頼区間で推定する｜統計的な推測６／７

数学Bの「統計的な推測」の第６回として 母平均の推定・母比率の推定 を扱います。（全７回）

今回は解説を含め、全３問を解いてゆきます。

母平均の推定（１）
母平均の推定（２）
母比率の推定
最後に。

母平均の推定（１）

問 6.1

ある工場から出荷された塩の袋の中から無作為に $100$ 個を抽出したところ、質量の平均は $500.7\,{\rm g}$ であった。質量の母標準偏差を $9.8\,{\rm g}$ として、$1$ 袋あたりの質量の平均値を信頼度 $95$％で推定せよ。

解答例

標本の大きさ $100$ は十分に大きいので、標本平均 $\overline{X}$ は近似的に正規分布 $$N\left(m,\frac{9.8^2}{100}\right)$$ すなわち $$N\left(m,0.98^2\right)$$ に従う。ここで、$m$ は母平均、$9.8$ は母標準偏差である。今回の標本平均は $\overline{X}=500.7$ なので

$500.7-1.96 \times 0.98=498.77\cdots$
$500.7+1.96 \times 0.98=502.62\cdots$

よって、母平均 $m$ に対する信頼度 $95$％の信頼区間は $$[498.8, 502.6]$$但し、単位は ${\rm g}$ である。

母平均の推定（２）

問 6.2

ある正方形の $1$ 辺の長さを $400$ 回測定したところ、平均値 $10.4\,{\rm cm}$、標準偏差 $0.2\,{\rm cm}$ であった。この正方形の面積を信頼度 $95$％で推定せよ。

解答例

標本の大きさ $400$ は十分に大きいので、標本平均 $\overline{X}$ は近似的に正規分布 $$N\left(m,\frac{0.2^2}{400}\right)$$ すなわち $$N\left(m,0.01^2\right)$$ に従う。ここで、$m$ は母平均、$0.2$ は標本標準偏差である。今回の標本平均は $\overline{X}=10.4$ なので

$10.4-1.96 \times 0.01=10.3804$
$10.4+1.96 \times 0.01=10.4196$

よって、正方形の $1$ 辺の長さの母平均 $m$ に対する信頼度 $95$％の信頼区間は $$[10.3804, 10.4196]$$但し、単位は ${\rm cm}$ である。ここで、

$10.3804^2=107.75\cdots$
$10.4196^2=108.56\cdots$

これより、正方形の面積の母平均に対する信頼度 $95$％の信頼区間は $$[107.8, 108.6]$$但し、単位は ${\rm cm}^2$ である。

母比率の推定

問 6.3

さいころを投げて、$1$ の目が出る確率を信頼度 $95$％で推定する。

（１）$500$ 回投げたとき、$1$ の目が出る確率の信頼区間を求めよ。（小数第$4$位を四捨五入せよ。）

（２）信頼区間の幅が $0.07$ 以下になるには、さいころを少なくとも何回以上投げればよいか。

解答例

（１）標本比率を $R$ とする。 $\displaystyle R=\frac{1}{6}$ と見做すと

\begin{align}
\sqrt{\frac{R(1-R)}{500}}
=\sqrt{\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{6}\right)\cdot\frac{1}{500}}
=\frac{1}{60}
\end{align}

となる。標本の大きさ $500$ は十分に大きいので、標本比率 $R$ は近似的に正規分布 $$N\left(\frac{1}{6},\frac{1}{60}\right)$$ に従う。ここで、

$\displaystyle \frac{1}{6}-1.96\times\frac{1}{60}=0.134$
$\displaystyle \frac{1}{6}+1.96\times\frac{1}{60}=0.1993\cdots$

よって、$1$ の目が出る確率に対する信頼度 $95$％の信頼区間は $$[0.134, 0.199]$$ である。

（２）標本の大きさ $n$ が大きければ、信頼度 $95$％の信頼区間の幅は

\begin{align}
2\times1.96\times\sqrt{\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{6}\right)\cdot\frac{1}{n}}
=2\times1.96\times\frac{1}{6}\sqrt{\frac{5}{n}}
\end{align}

である。これが $0.07$ 以下になるので

\begin{align}
2\times1.96\times\frac{1}{6}\sqrt{\frac{5}{n}}&\leq0.07\\
2\times1.96\times\sqrt{5}&\leq0.07\times6\times\sqrt{n}\\
28\sqrt{5}&\leq3\sqrt{n}\\
3920&\leq9n
\end{align}

より

\begin{align}
n&\geq\frac{3920}{9}=435.55\cdots
\end{align}

となる。よって、さいころを少なくとも $436$ 回以上投げればよい。