【数学B｜仮説検定の考え方】統計的仮説の有意性を検定する｜統計的な推測７／７

解答例

表が出る確率を \(p\) とする。以下の帰無仮説 \({\rm H}_0\) を考える。

$${\rm H}_0:p=\frac{1}{2},\quad{\rm H}_1:p\neq\frac{1}{2}$$

仮説 \({\rm H}_0\) の下、\(400\) 回のうち表が出る回数 \(X\) は二項分布 \(\displaystyle B\left(400,\frac{1}{2}\right)\) に従う。ここで、

• \(\displaystyle m=400\cdot\frac{1}{2}=200\)
• \(\displaystyle \sigma=\sqrt{400\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)}=10\)

よって、\(\displaystyle Z=\frac{X-200}{10}\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,1)\) に従う。

ここで、有意水準 \(5\)％の棄却域は $$Z\leq-1.96,\ 1.96\leq Z$$

今、\(X=178\) のときの $$Z=\frac{178-200}{10}=-2.2$$ は棄却域に入っている。これより、仮説 \({\rm H}_0\) は棄却されるので、表が出る確率が \(\displaystyle \frac{1}{2}\) ではないと判断してよい。

解答例

（１）改良後の発芽率を \(p\) とする。以下の帰無仮説 \({\rm H}_0\) を考える。

$${\rm H}_0:p=0.6,\quad{\rm H}_1:p>0.6$$

仮説 \({\rm H}_0\) の下、\(600\) 個のうち発芽する個数 \(X\) は二項分布 \(\displaystyle B\left(600,0.6\right)\) に従う。ここで、

• \(\displaystyle m=600\cdot0.6=360\)
• \(\displaystyle \sigma=\sqrt{600\cdot0.6\cdot\left(1-0.6\right)}=12\)

よって、\(\displaystyle Z=\frac{X-360}{12}\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,1)\) に従う。

ここで、有意水準 \(5\)％の棄却域は $$Z\geq1.64$$

今、\(X=384\) のときの $$Z=\frac{384-360}{12}=2$$ は棄却域に入っている。これより、仮説 \({\rm H}_0\) は棄却されるので、品種改良によって発芽率は向上したと判断してよい。

（２）有意水準 \(1\)％の棄却域は $$Z\geq2.33$$

今、\(Z=2\) は棄却域に入っていない。これより、仮説 \({\rm H}_0\) は棄却されず、品種改良によって発芽率が向上したとは判断できない。

解答例

\({\rm M}\) 高校の母平均を \(m\) とする。以下の帰無仮説 \({\rm H}_0\) を考える。

$${\rm H}_0:m=54.2,\quad{\rm H}_1:m\neq54.2$$

仮説 \({\rm H}_0\) の下、\(100\) 人の得点の標本平均 \(\overline{X}\) は近似的に正規分布 \(\displaystyle N\left(54.2,\frac{12.0^2}{100}\right)\) すなわち \(\displaystyle N\left(54.2,1.2^2\right)\) に従う。よって、\(\displaystyle Z=\frac{\overline{X}-54.2}{1.2}\) は近似的に標準正規分布 \(N(0,1)\) に従う。

ここで、有意水準 \(5\)％の棄却域は $$Z\leq-1.96,\ 1.96\leq Z$$

今、\(\overline{X}=52.0\) のときの $$Z=\frac{52.0-54.2}{1.2}=-1.83\cdots$$ は棄却域に入っていない。これより、仮説 \({\rm H}_0\) は棄却されず、\({\rm M}\) 高校全体の平均点が全国の平均点と異なるとは判断できない。