【i^i】iのi乗は実数？虚数？それとも…。指数を拡張し、証明せよ！

今回は、虚数単位 $i$ の $i$ 乗である “ $i^i$ ” の値に着目したいと思います。

例えば、$3^4=81$ などの ${自然数}^{自然数}$ は必ず自然数になります。
しかし、$\displaystyle 2^{-3}=\frac{1}{8}$ となるので、${整数}^{整数}$ は整数の範囲から飛び出すことがあります。
また、$5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ となるので、${有理数}^{有理数}$ は有理数の範囲から飛び出すことがあります。

このように、冪乗の計算をすると「構成する底と指数を含む数の範囲から値が飛び出る」が少なくありません。（ここで、“範囲” とは自然数、整数、有理数、実数、複素数などを表すものとします。）

さて、高校数学では扱わない冪乗の計算ですが、$i^i$ の計算結果は次の選択肢のうちどれになると思いますか？

複素数の範囲から飛び出る。
複素数の範囲に留まるが、虚数となる。
複素数の範囲に留まり、特に実数となる。

さあ、この問の答えを確かめてみましょう！

冪乗を複素数へ拡張しよう。
冒頭の問の答えです！
最後に。

冪乗を複素数へ拡張しよう。

高校数学までの知識の下、冪乗を複素数の範囲まで拡張しようと思います。順番としては

実関数に対するマクローリン展開について形式的に導入する。
オイラーの公式を紹介して、指数関数 $e^z$ を定義する。
対数関数 $\log z$ を定義した後、一般の冪乗 $a^b$ を定義する。

実数に対しては冪乗 $a^b$ から対数関数 $\log_a x$ を定義したので、その違いも感じられると良いと思います。

１. 実関数のマクローリン展開

何回でも微分できる関数 $f(t)$ を考えます。

この関数 $f(t)$ のことを “次数を無限大まで認めた多項式” によって表そうと試みます。つまり、

\begin{align}
f(t)
&=a_0+a_1t+a_2t^2+\cdots+a_nt^n+\cdots\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}a_n t^n\tag{1}
\end{align}

と、無理矢理に書いてやろうとするのです。この形を認めるなら、例えば

$f(t)$ において $t=0$ とすると $f(0)=a_0$
$f^\prime(t)$ において $t=0$ とすると $f^\prime(0)=a_1$
$f^{\prime\prime}(t)$ において $t=0$ とすると $f^{\prime\prime}(0)=2a_2$

などとなります。一般には

$f^{(n)}(t)$ において $t=0$ とすると $f^{(n)}(0)=n!a_n$

となります。

よって、関数 $f(t)$ が上の式 (1) の形の表示を認めるならば

\begin{align}
f(t)
&=f(0)+f^\prime(0)t+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}t^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}t^n+\cdots\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}t^n\tag{2}
\end{align}

と書くことができます。これを、関数 $f(t)$ の「マクローリン展開」と呼びます。

例えば、具体的に指数関数 $e^t$ や三角関数 $\sin t$ と $\cos t$ のマクローリン展開を計算してみると、式 (2) より

\begin{align}
e^t&=1+t+\frac{1}{2}t^2+\cdots+\frac{1}{n!}t^n+\cdots\tag{3}\\
\sin t&=t-\frac{1}{3!}t^3+\frac{1}{5!}t^5+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n+1}+\cdots\tag{4}\\
\cos t&=1-\frac{1}{2!}t^2+\frac{1}{4!}t^4+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}t^{2n}+\cdots\tag{5}
\end{align}

となります。

大学入試でもこれらを題材にした問題が存在するので、形に見覚えのある方もいるかもしれませんね。

２. オイラーの公式と指数関数

オイラーの公式の紹介

指数関数 $e^t$ のマクローリン展開である式 (3) に、形式的に $t=iy$ を代入してみます。ここで、$i$ は虚数単位で、$y$ は実数とします。

まず、$e^{iy}$ を実部と虚部に分けると

\begin{align}
e^{iy}
&=1+iy+\frac{1}{2!}(iy)^2+\frac{1}{3!}(iy)^3+\frac{1}{4!}(iy)^4+\cdots\\
&=1+iy-\frac{1}{2!}y^2-\frac{1}{3!}iy^3+\frac{1}{4!}y^4+\cdots\\
&=\left(1-\frac{1}{2!}y^2+\frac{1}{4!}y^4+\cdots\right)+i\left(y-\frac{1}{3!}y^3+\frac{1}{5!}y^5+\cdots\right)
\end{align}

となります。この実部と虚部に着目すると、式 (4) 及び式 (5) より

\begin{align}
e^{iy}=\cos y+i\sin y\tag{6}
\end{align}

が成り立ちます。この公式 (6) を「オイラーの公式」と呼びます。

オイラーの公式によって、複素数 $z$ の極形式は

\begin{align}
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}
\end{align}

と書くことができます。

指数関数の定義

このオイラーの公式を用いることで、複素数 $z=x+iy$ に対して、指数関数

\begin{align}
e^z
&=e^xe^{iy}\\
&=e^x(\cos y+i\sin y)
\end{align}

が定義されます。

ここで、オイラーの公式より $e^{iy}$ は $y$ に関して周期 $2\pi$ を持ちます。つまり、任意の複素数 $z$ と整数 $n$ について

\begin{align}
e^{z+2n\pi i}=e^z\tag{7}
\end{align}

が成り立ちます。

３. 対数関数による冪乗の定義

対数関数の定義

今、$e$ を底とする（複素数に関する）指数関数は定義できています。対数関数は、複素数に対しても指数関数の逆関数のように定義したいですね。

複素数の変数 $z\neq0$, $w$ に対して

\begin{align}
w=\log z\ \Longleftrightarrow\ z=e^w\tag{8}
\end{align}

によって対数関数を定義します。

この対数関数を計算するために少し考察しましょう。式 (8) において

\begin{align}
z&=re^{i\theta},&w&=u+iv
\end{align}

とおいてみると $$re^{i\theta}=e^{u+iv}=e^u e^{iv}$$ となります。

この両辺の絶対値を比較すると、$r=e^u>0$ より $u=\log r$ となります。
また、偏角を比較すると式 (7) より $v=\theta+2m\pi$ ($m\in\mathbb{Z}$) と書けます。（ $\mathbb{Z}$ は整数全体の集合を表します。）

以上より、$0$ ではない複素数 $z=re^{i\theta}$ に対して、具体的に

\begin{align}
\log z&=\log r +i(\theta+2m\pi)&&(m\in\mathbb{Z})
\end{align}

と計算できるのです。

例えば、$z=1+i=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}$ に対して

\begin{align}
\log z
&=\log \sqrt{2} +i\left(\frac{\pi}{4}+2m\pi\right)&&(m\in\mathbb{Z})\\
&=\frac{1}{2}\log 2 +\frac{8m+1}{4}\pi i&&(m\in\mathbb{Z})
\end{align}

と計算できます。

これを見て、違和感がある方もいらっしゃるかもしれません。

そうです。関数値に整数 $m$ が含まれており、値が唯一つには定まらないのです。このように、複数の値をとる関数のことを多価関数といいます。（これに対して、普通の関数を一価関数といいます。）

正の実数に対する対数関数は一価ですが、$0$ でない複素数に拡張すると多価になってしまうのです。

冪乗の定義

今までに定義した指数関数と対数関数を用いて、複素数の冪乗を定義します。

まず、正の実数に対して、冪乗の底を変換する公式を思い出しましょう。対数の定義から直ちに従うこととして、$a>0$ ならば $a^b=e^{b\log a}$ が成り立ちますね。まさにこれを利用して、複素数に対する冪乗を定義するのです。

$a\neq0$, $b$ を複素数とします。このとき、

\begin{align}
a^b=e^{b\log a}
\end{align}

によって冪乗 $a^b$ を定義します。

例えば、先程の結果を使うと

\begin{align}
i\log(1+i)
&=i\left(\frac{1}{2}\log 2 +\frac{8m+1}{4}\pi i\right)&&(m\in\mathbb{Z})\\
&=-\frac{8m+1}{4}\pi+\frac{i}{2}\log 2&&(m\in\mathbb{Z})
\end{align}

であるので、冪乗の定義より

\begin{align}
(1+i)^i
&=e^{i\log(1+i)}&&\\
&=e^{-\frac{8m+1}{4}\pi+\frac{i}{2}\log 2}&&(m\in\mathbb{Z})
\end{align}

と計算できるのです。

冪乗は対数関数を用いて定義されています。対数関数は多価でしたので、一見、定数に見える $(1+i)^i$ ですが、複数の値をとるということに注意しなければなりません。

さあ、準備は完了しました。冒頭の問に答えましょう！

冒頭の問の答えです！

まず、$i\neq0$ ですので、冪乗 $i^i$ は我々の見てきた意味で定義されます。そして、その値は複数とる（多価）でしょうが複素数です。これより、選択肢１は誤りです。

では、実際に計算してみましょう。

$i=e^{\frac{\pi}{2}i}$ ですから

\begin{align}
\log i
&=\log 1 +i\left(\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)&&(m\in\mathbb{Z})\\
&=\frac{4m+1}{2}\pi i&&(m\in\mathbb{Z})
\end{align}

と計算できます。よって、

\begin{align}
i\log i&=-\frac{4m+1}{2}\pi&&(m\in\mathbb{Z})
\end{align}

であるので、累乗の定義より

\begin{align}
i^i
=e^{i\log i}
=e^{-\frac{4m+1}{2}\pi}\quad(m\in\mathbb{Z})
\end{align}

と計算できるのです。

なんと、$i^i$ は実数となりました。これにより選択肢２も誤りであって、選択肢３が正しいことがわかりましたね！

例えば、$m=0$ の場合だけを考えると数値を計算できて

\begin{align}
i^i
=e^{-\frac{\pi}{2}}
=0.20787957635\cdots
\end{align}

となります。これを $i^i$ の主値といいます。計算機に $i^i$ を計算させると主値のみ返ってくるかもしれませんが、定義通りに計算すると無数の値をとります。

最後に。

いかがでしたでしょうか。今回は冪乗 $i^i$ について、その値がどの数の範囲にあるかを考えてきました。答えは実数の範囲であることがわかりましたね。

最後に少し余談を。今回、簡単に導入したオイラーの公式 (6) ですが、$y=\pi$ とすると $$e^{\pi i}+1=0$$ という「オイラーの等式」が得られます。これは、円周率 $\pi$ とネイピア数 $e$ と虚数単位 $i$ （及び、$0$ と $1$ ）が非常に簡潔な式で結びついており、「数学における最も美しい定理」とされています。

今回の定義で、さまざまな冪乗の計算をしてみると面白いと思います！（例えば、冒頭の $5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ の左辺を複素数の冪乗として考えると…？）