数学IIIC 「円周率 π は 3.05 よりも、3.14 よりも大きい！」ウォリスの公式で東大入試を解く。
今回は円周率 π が 3.05 より大きいこと、さらには、3.14 より大きいことを有限回の四則演算によって確認してゆきます。そんなことを可能にする道具が「ウォリスの公式」と呼ばれる無限積に関する公式です。
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数学IIIC 【円周率 π は無理数】割り切れるか背理法で証明！100桁では終わらない。
今回は「円周率 π が無理数であること」を証明したいと思います。本記事では1947年に発表されたイヴァン・ニーベンという数学者による証明をご紹介します。この方法では、高校数学の知識のみで無理性を証明することが可能です。
大学入試 【積分漸化式】例題14問一覧！ sin cos tan exp log など…
大学入試でも出題される積分漸化式ですが、一般項が簡単に求められないと難問に感じますね。そのような場合、実験として具体的な小さい n について考察することが重要です。本記事は、そんな積分漸化式を収集してゆくものです。
数学IIIC 【部分分数分解｜積分の計算】裏ワザ超えのやり方とコツを基本例題・大学入試でわかりやすく解説！［全12問］
中学受験の入試問題から、高校数学で数列の和や積分の計算、ラプラス変換に関連して大学数学でも登場する部分分数分解を扱います。裏ワザ的なやり方ではなく、公式が与えられても「なぜ」なのかを考える姿勢を意識します。
数学IIIC 【∫[0,1] x^n√(x^2+1) dx】定積分の漸化式 Part.5 逆双曲線関数
今回は [0,1] 上の定積分 I_n=∫x^n√(x^2+1) dx に関する問題を解きます。漸化式から、上手く数列 {I_n} の規則を見出だし、工夫して I_3 までを順に計算してゆきましょう。
数学IIIC 【∫ x^n√(x^2+1) dx】不定積分の漸化式 Part.5 逆双曲線関数
今回は I_n(x)=∫x^n√(x^2+1)dx に関する問題を解きます。一般項を求めることはせずに、関数の列 {I_n(x)} に関する漸化式を導出し、それを用いて I_2(x)，I_3(x) を順に決定します。
数学IIIC 【∫[0,1] 1/(x^2+1)^n dx】定積分の漸化式 Part.4 逆三角関数
今回は [0,1] 上の定積分 I_n=∫1/(x^2+1)^n dx に関する問題を解きます。漸化式から、上手く数列 {I_n} の規則を見出だし、工夫して計算してゆきましょう。対応する関数の列 {I_n(x)} についても言及します。
数学IIIC 【∫[0,1] x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx】定積分の漸化式 Part.6 ベータ関数
今回は [0,1] 上の定積分 B(m,n)=∫x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx に関する問題を解きます。これは「ベータ関数」の特別な場合です。変数を x=sin^2(θ) と置換すると、新しい積分を得られます。
数学IIIC 【∫[1,e] (log(x))^n dx】定積分の漸化式 Part.3 対数関数
今回は [1,e] 上の定積分 L_n=∫(log(x))^n dx に関する問題を解きます。漸化式から、数列 {L_n} の規則を見出だし、うまく計算してゆきましょう。最後には、一般項を明示的に書くことも試みます。
数学IIIC 【∫ (log(x))^n dx】不定積分の漸化式 Part.3 対数関数
今回は L_n(x)=∫(log(x))^ndx に関する問題を解きます。一般項を求めることはせずに、関数の列 {L_n(x)} に関する漸化式を導出し、それを用いて L_1(x)，L_2(x)，L_3(x) を順に決定します。