【∫[0,1] x^n√(x^2+1) dx】定積分の漸化式 Part.5 逆双曲線関数

みなさん、こんにちは。

今回は、次の問題を解いてゆきます。

問題

$0$ 以上の整数 $n$ に対して、次の定積分

\begin{align}
I_n&=\int_0^1 x^n\sqrt{x^2+1}\,dx
\end{align}

を考える。但し、$x^0=1$ とする。

（１）$I_0$ を求めよ。

（２）$I_1$ を求めよ。

（３）$n\geq2$ に対して $I_n$ を $I_{n-2}$ で表すことで、$I_2$ と $I_3$ を求めよ。

その他の例題は以下のリンクを参照してください。

答え
解説
最後に

答え

（１）$$I_0=\frac{1}{2}\left\{\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})\right\}$$

（２）$$I_1=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$$

（３）

\begin{align}
I_2
&=\frac{3\sqrt{2}}{8}-\frac{1}{8}\log(1+\sqrt{2})\\
I_3
&=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{15}
\end{align}

解説

$I_0$ を求める。

まず、$x^0=1$ と約束していたので

\begin{align}
I_0
&=\int_0^1 \sqrt{x^2+1}\,dx\\
&=\int_0^1 \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\\
&=\int_0^1 x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx+\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\\
&=\left[x\sqrt{x^2+1}\right]_0^1-\int_0^1 \sqrt{x^2+1}\,dx+\left[\log(x+\sqrt{x^2+1})\right]_0^1\\
&=\sqrt{2}-I_0+\log(1+\sqrt{2})
\end{align}

となります。

これを $I_0$ について解くと

\begin{align}
I_0
=\frac{1}{2}\left\{\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})\right\}
\end{align}となります。

$I_1$ を求める。

$C_1$ を積分定数とすると

\begin{align}
I_1
&=\int_0^1 x(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\,dx\\
&=\left[\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1\\
&=\frac{1}{3}(2^{\frac{3}{2}}-1)\\
&=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}
\end{align}となります。

$I_n$ の漸化式を求める。

$n\geq2$ であることを用いて部分積分を行います。

\begin{align}
I_n
&=\int_0^1 x^{n-1}x(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\,dx\\
&=\left[x^{n-1}\times\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1-\int_0^1 (n-1)x^{n-2}\times\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}\,dx\\
&=\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}(n-1)\int_0^1 (x^n+x^{n-2})\sqrt{x^2+1}\,dx\\
&=\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}(n-1)(I_n+I_{n-2})
\end{align}

これを $I_n$ について解くことで

\begin{align}
I_n=\frac{2\sqrt{2}}{n+2}-\frac{n-1}{n+2}I_{n-2}
\end{align}を得ます。

$n=2$ とすると

漸化式を用いることで

\begin{align}
I_2(x)
&=\frac{2\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{4}I_0\\
&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4}I_0
\end{align}

となります。$I_{0}$ は既に求めていたので

\begin{align}
I_2
&=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{8}\left\{\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})\right\}\\
&=\frac{3\sqrt{2}}{8}-\frac{1}{8}\log(1+\sqrt{2})
\end{align}

となります。