【部分分数分解｜数列の和】裏ワザ超えのやり方・コツを練習問題でわかりやすく解説！応用まで。［全11問］

今回は「数列の和」の計算における部分分数分解のやり方を紹介したいと思います。

部分分数の和への計算では、恒等式の係数比較、具体的な数値の代入、裏ワザと呼ばれることのあるヘビサイドの展開定理などの手法があります。本記事では、等式の証明ではなく計算途中の式変形を想定しているため、手法にはこだわらず柔軟に考えてゆきます。

私が意識している点を、一例として共有できればと思います。ただ手順を暗記するのではなく、頭を使って考え、手を動かしてゆきましょう！

練習問題全11問
積分の計算について
参考動画（YouTube）

練習問題全11問

数列の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^na_k$ を求めてゆくわけですが、限られた $a_k$ に対してしか公式は知りません。そこで、計算する際の解決策の一つとしては「隣接する項の差」を作る（階差と見做す）方法があります。具体的には、

$$a_k=f(k+1)-f(k)$$

もしくは

$$a_k=f(k)-f(k+1)$$

のような形を作ります。隣接する項の差を作ること を目標にして、部分分数分解を行います。

さて、思考の過程を明確にしながら以下の計算を行ってみましょう！

基本１ $1/k(k+1)$

まずは、簡単かもしれませんが、分子が $1$ であるこの場合から。

問題１

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$ を計算せよ。

部分分数への分解を考えますが、まずは分母から設定します。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{\fbox{?}}\sum_{k=1}^n \left(\frac{\fbox{?}}{k}-\frac{\fbox{?}}{k+1}\right)$$

このように、分母を同じ因数ごとに分離します。この際、私は $\fbox{?}$ の部分は空欄にして後から書き加えています。先頭の分数は、分数ごと書かないでおいて良いでしょう。

右辺を通分したらどうなるかを考えます。このときに

“とにかく分子から $k$ を消去したい”

と思うわけです。その $k$ さえ消去できれば残るは定数のみですから、それを適当な数で割れば分子は $1$ とできるのです。

さて、準備した部分分数の $k$ の係数は共に $1$ です。差をとって分子から $k$ を消去するためには、部分分数の分子も共に $1$ であれば良いですね。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{\fbox{?}}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$$

この時点で通分したときの $k$ の項は分子から消え去ります。もう気にしなくて良いです。

次に、右辺の分子の定数項のみ気にします。通分したとき分子に現れる定数のみ計算すると $$1-0=1$$ ですから、先頭の分数 $\displaystyle \frac{1}{\fbox{?}}$ は $\displaystyle \frac{1}{1}$ になるため、結局は書く必要がなく

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$$

となります。

部分分数分解はここまでで終了です。もう計算できます。部分分数によって作り出した隣接する項は打ち消し合うので

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}
&=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\
&=1-\frac{1}{n+1}\tag{L}\\
&=\frac{n}{n+1}
\end{align}

となります。

数学IIIにおいて、無限級数 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$$ であった場合、部分和に対して式 $({\rm L})$ の時点で極限をとると楽です。以下の「$({\rm L})$」も同じ “極限をとるサイン” と思ってください。

類題１

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ を計算せよ。

基本２ $1/(2k+1)(2k+3)$

同じことを、数を変えてやってみます。

問題２

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ を計算せよ。

まずは分母の設定から

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{\fbox{?}}\sum_{k=1}^n \left(\frac{\fbox{?}}{2k+1}-\frac{\fbox{?}}{2k+3}\right)$$

この際、私は分母が小さいものを前に書いています。今回の場合、$2k+1$ の方が $2k+3$ より小さいので $\displaystyle \frac{1}{2k+1}$ を前にしています。先頭の分数 $\displaystyle \frac{1}{\fbox{?}}$ を正にしたいからそうしているだけで、絶対そうしなければならないことではありません。

まず、準備した部分分数の $k$ の係数は共に $2$ です。差をとって分子から $k$ を消去するためには、部分分数の分子も等しい必要があります。$2$ と $2$ でも良いですが、簡単な整数の比として $1$ と $1$ にしておきましょう。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{\fbox{?}}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)$$

この時点で通分したときの $k$ の項は分子から消え去ります。

次に、通分したとき分子に現れる定数のみ計算すると $$3-1=2$$ ですから、先頭の分数 $\displaystyle \frac{1}{\fbox{?}}$ は $\displaystyle \frac{1}{2}$ になり

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)$$

となります。

部分分数分解はここまでで終了です。同様に、隣接する項は打ち消し合い

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}
&=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)\\
&=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)\tag{L}\\
&=\frac{n}{3(2n+3)}
\end{align}

となります。

類題２

$\displaystyle \sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2-1}$ を計算せよ。

標準１ $1/(2k-1)(2k+3)$

部分分数分解するとき、部分分数が隣接する必要はあったでしょうか。

問題３

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+3)}$ を計算せよ。

まずは分母の設定から

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+3)}=\frac{1}{\fbox{?}}\sum_{k=1}^n \left(\frac{\fbox{?}}{2k-1}-\frac{\fbox{?}}{2k+3}\right)$$

さて、準備した部分分数の $k$ の係数は共に $2$ です。差をとって分子から $k$ を消去するため、簡単な整数の比をとり $1$ と $1$ を採用します。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+3)}=\frac{1}{\fbox{?}}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+3}\right)$$

次に、通分したとき分子に現れる定数のみ計算すると $$3-(-1)=4$$ ですから、先頭の分数 $\displaystyle \frac{1}{\fbox{?}}$ は $\displaystyle \frac{1}{4}$ になり

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+3)}=\frac{1}{4}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+3}\right)$$

となります。

部分分数分解はここまでで終了です。準備した部分分数である $\displaystyle \frac{1}{2k-1}$ と $\displaystyle \frac{1}{2k+3}$ は隣接していませんでした。$k$ の値を $2$ だけ変えれば一致するので “隣の隣” ですね。よって、$n\geq2$ とすると

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+3)}
&=\frac{1}{4}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+3}\right)\\
&=\frac{1}{4} \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\tag{L}\\
&=\frac{n(4n+5)}{3(2n+1)(2n+3)}
\end{align}

となります。これは $n=1$ のときも成り立ちます。

類題３

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}$ を計算せよ。

標準２ $1/k(k+1)(k+2)$

分母に因数が $3$ つある場合を考えてみましょう。

問題４

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を計算せよ。

分母の設定についてですが、分解を完全に行おうとすると、部分分数は

\begin{align}
\frac{1}{k}&,&
\frac{1}{k+1}&,&
\frac{1}{k+2}&
\end{align}

の三つの定数倍を用いたものが想定されます。一方、我々が目指しているのは

$$f(k)-f(k+1)$$

のような二つの差を考えることです。これより、部分分数への段階的な分解として

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
=\frac{1}{\fbox{?}}\sum_{k=1}^n \left\{\frac{\fbox{?}}{k(k+1)}-\frac{\fbox{?}}{(k+1)(k+2)}\right\}
\end{align}

を目指す形に設定します。

ここで、「部分分数の分子は定数ではなく $k$ の $1$ 次式の形をしているのでは？」という疑問を持った方もいると思います。今、

\begin{align}
\frac{1}{k(k+1)(k+2)}
&=\frac{\fbox{?}}{k(k+1)}-\frac{\fbox{?}}{(k+1)(k+2)}\\
&=\frac{1}{k+1}\left(\frac{\fbox{?}}{k}-\frac{\fbox{?}}{k+2}\right)
\end{align}

であるので、実質 $$\frac{1}{k(k+2)}=\frac{\fbox{?}}{k}-\frac{\fbox{?}}{k+2}$$ になっているのです。よって、分子の $\fbox{?}$ は定数で十分なのです。分母に共通する因数があるときは要注意ですね。また、その部分分数を $\displaystyle \frac{1}{k+1}$ が繋いで隣接する項の差になっています。

共通する因数の $(k+1)$ は一旦、無視します。

分母の残りの因数である $k$ と $(k+2)$ において、$k$ の係数は共に $1$ です。差をとって分子から $k$ を消去するため、分子も共に $1$ にします。

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
=\frac{1}{\fbox{?}}\sum_{k=1}^n \left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}
\end{align}

次に、通分したとき分子に現れる定数のみ計算すると $$2-0=2$$ ですから、先頭の分数 $\displaystyle \frac{1}{\fbox{?}}$ は $\displaystyle \frac{1}{2}$ になり

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}
\end{align}

となります。

部分分数分解はここまでで終了です。隣接する項は打ち消し合うので

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
&=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\tag{L}\\
&=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}
\end{align}

となります。

類題４

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}$ を計算せよ。

応用１ $1/k(k+1)(k+3)$

一つ前の問題と少し違いますが、どのように解きますか？

問題５

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+3)}$ を計算せよ。

分母の設定についてですが、小さい因数 $k$ を除いた $\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+3)}$ と大きい因数 $(k+3)$ を除いた $\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}$ に分解しても、見通しが良くありません。それは、分母の因数が

\begin{align}
k&,&
k+1&,&
k+3&
\end{align}

のように一個 $(k+2)$ が抜けているからです。それを補って、連続した因数を作りましょう。

\begin{align}
&\frac{1}{k(k+1)(k+3)}\\
&\quad=\frac{k+2}{k(k+1)(k+2)(k+3)}\\
&\quad=\frac{k}{k(k+1)(k+2)(k+3)}+\frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)}\\
&\quad=\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}+\frac{2}{k(k+1)(k+2)(k+3)}
\end{align}

この二つの項をそれぞれ分解すると

\begin{align}
\frac{1}{k(k+1)(k+3)}
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+2)(k+3)}\right\}\\
&\qquad+\frac{2}{3}\left\{\frac{1}{k(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\right\}
\end{align}

よって、$k=1,2,\cdots,n$ の和を考えると

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+3)}
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2\times3}-\frac{1}{(n+2)(n+3)}\right\}\\
&\qquad+\frac{2}{3}\left\{\frac{1}{1\times2\times3}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\right\}\tag{L}\\
&=\frac{7}{36}-\frac{3n+7}{6(n+1)(n+2)(n+3)}
\end{align}

となります。

類題５

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)(k+3)}$ を計算せよ。

応用２ $1/k^2(k+1)(k+2)^2$

同様に、次の問題を解いてみましょう。

問題６

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2(k+1)(k+2)^2}$ を計算せよ。

分母の因数のうち、$(k+1)$ が一個足りないので補います。

\begin{align}
\frac{1}{k^2(k+1)(k+2)^2}
&=\frac{k+1}{k^2(k+1)^2(k+2)^2}
\end{align}

先ほどのように分子を $k$ と $1$ に分けて考えると、$k$ を約分したときに分母の次数が再び崩れてしまいます。別の方法を考えましょう。

分母が $k(k+1)(k+2)$ のときは、部分分数の分母は $k(k+1)$ と $(k+1)(k+2)$ にして差を考えました。それを参考にしてみると

\begin{gather}
\frac{1}{k^2(k+1)^2}=\frac{k^2+4k+4}{k^2(k+1)^2(k+2)^2},\\
\frac{1}{(k+1)^2(k+2)^2}=\frac{k^2}{k^2(k+1)^2(k+2)^2}
\end{gather}

であって、これらの分子の差は $(k+1)$ の定数倍になります！

これは、試行錯誤が必要なステップだと思います。

これより

\begin{align}
\frac{1}{k^2(k+1)(k+2)^2}=\frac{1}{4}\left\{\frac{1}{k^2(k+1)^2}-\frac{1}{(k+1)^2(k+2)^2}\right\}
\end{align}

よって、$k=1,2,\cdots,n$ の和を考えると

\begin{align}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2(k+1)(k+2)^2}
&=\frac{1}{4}\left\{\frac{1}{1^2\times2^2}-\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2}\right\}\tag{L}\\
&=\frac{1}{16}-\frac{1}{4(n+1)^2(n+2)^2}
\end{align}

となります。