【∫[0,∞] x^ne^{-x} dx】定積分の漸化式 Part.8 指数関数（１）

みなさん、こんにちは。

今回は、次の問題を解いてゆきます。

その他の例題は以下のリンクを参照してください。

【積分漸化式】例題14問一覧！ sin cos tan exp log など...

大学入試でも出題される積分漸化式ですが、一般項が簡単に求められないと難問に感じますね。そのような場合、実験として具体的な小さい n について考察することが重要です。本記事は、そんな積分漸化式を収集してゆくものです。

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答え

解説

\(F_0\) を求める。

まず、\(x^0=1\) と約束していたので

\begin{align}
F_0
&=\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx\\
&=\left[-e^{-x}\right]_0^{\infty}\\
&=-0-(-1)\\
&=1
\end{align}

となります。

\(F_n\) の一般項を求める。

\(n\geq1\) として部分積分を行います。

\begin{align}
F_n
&=\int_0^{\infty} x^ne^{-x}\,dx\\
&=\left[x^n(-e^{-x})\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty} nx^{n-1}(-e^{-x})\,dx\\
&=0+n\int_0^{\infty} x^{n-1}e^{-x}\,dx\\
&=nF_{n-1}
\end{align}

この両辺を \(n!\) で割ることで、数列 \(\displaystyle \left\{\frac{F_n}{n!}\right\}\) は定数列となります。

例えば、\(n=0\) のときを考えると

\begin{align}
\frac{F_n}{n!}=\frac{F_0}{0!}=1
\end{align}

すなわち

\begin{align}
F_n=n!
\end{align}

を得ます。

最後に

今回登場した階乗の一般化として「ガンマ関数」と呼ばれる関数があります。具体的には、実部が正である複素数 \(z\) に対して

\begin{align}
\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt
\end{align}

と定義されます。

今回の定積分

\begin{align}
F_n&=\int_0^{\infty} x^ne^{-x}\,dx
\end{align}

と見比べると、正の整数 \(n\) に対して

\begin{align}
\Gamma(n)=F_{n-1}=(n-1)!
\end{align}

が成り立ちます。

これを、実部が正であれば複素数の範囲で考えても良いとしたのがガンマ関数です。

似ている形の定積分を以下の記事で扱っています。

【∫[0,∞] x^ne^{-x^2/2} dx】定積分の漸化式 Part.9 指数関数（２）

みなさん、こんにちは。今回は [0,∞] 上の定積分 G_n=∫x^ne^{-x^2/2}dx に関する問題を解きます。これは「ガウス積分」を用いて計算されます。計算結果は二重階乗を用いて表記され、正規分布共関連があります。

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