【∫ x^n√(x^2+1) dx】不定積分の漸化式 Part.5 逆双曲線関数

みなさん、こんにちは。

今回は、次の問題を解いてゆきます。

問題

$0$ 以上の整数 $n$ に対して、次の不定積分

\begin{align}
I_n(x)&=\int x^n\sqrt{x^2+1}\,dx
\end{align}

を考える。但し、$x^0=1$ とする。

（１）$I_0(x)$ を求めよ。

（２）$I_1(x)$ を求めよ。

（３）$n\geq2$ に対して $I_n(x)$ を $I_{n-2}(x)$ で表すことで、$I_2(x)$ と $I_3(x)$ を求めよ。

その他の例題は以下のリンクを参照してください。

答え
解説
最後に

答え

（１）

\begin{align}
I_0(x)&=\frac{1}{2}\biggl\{x\sqrt{x^2+1}+\log(x+\sqrt{x^2+1})\biggr\}+C_0
\end{align}

但し、$C_0$ は積分定数とする。

（２）$$I_1(x)=\frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C_1$$

但し、$C_1$ は積分定数とする。

（３）

\begin{align}
I_2(x)
&=\frac{1}{8}\biggl\{x(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\log(x+\sqrt{x^2+1})\biggr\}+C_2\\
I_3(x)
&=\frac{1}{15}(3x^2-2)(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C_3
\end{align}

但し、$C_2$ と $C_3$ は積分定数とする。

解説

$I_0(x)$ を求める。

まず、$x^0=1$ と約束していたので

\begin{align}
I_0(x)
&=\int \sqrt{x^2+1}\,dx\\
&=\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\\
&=\int x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx+\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\\
&=x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1}\,dx+\log(x+\sqrt{x^2+1})\\[7pt]
&=x\sqrt{x^2+1}-I_0(x)+\log(x+\sqrt{x^2+1})
\end{align}

となります。

これを $I_0(x)$ について解くと、$C_0$ を積分定数とすれば

\begin{align}
I_0(x)&=\frac{1}{2}\biggl\{x\sqrt{x^2+1}+\log(x+\sqrt{x^2+1})\biggr\}+C_0
\end{align}

となります。

$I_1(x)$ を求める。

$C_1$ を積分定数とすると

\begin{align}
I_1(x)
&=\int x(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\,dx\\
&=\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+C_1\\
&=\frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C_1
\end{align}となります。

$I_n(x)$ の漸化式を求める。

$n\geq2$ であることを用いて部分積分を行います。

\begin{align}
I_n(x)
&=\int x^{n-1}x(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\,dx\\
&=x^{n-1}\times\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}-\int (n-1)x^{n-2}\times\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}\,dx\\
&=\frac{1}{3}x^{n-1}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{3}(n-1)\int (x^n+x^{n-2})\sqrt{x^2+1}\,dx\\
&=\frac{1}{3}x^{n-1}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{3}(n-1)(I_n(x)+I_{n-2}(x))
\end{align}

これを $I_n(x)$ について解くことで

\begin{align}
I_n(x)&=\frac{1}{n+2}x^{n-1}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\frac{n-1}{n+2}I_{n-2}(x)
\end{align}

を得ます。

$n=2$ とすると

漸化式を用いることで

\begin{align}
I_2(x)
&=\frac{1}{4}x(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{4}I_0(x)
\end{align}

となります。$I_{0}(x)$ は既に求めていたので、$C_2$ を積分定数とすると

\begin{align}
I_2(x)
&=\frac{1}{4}x(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{8}\left\{x\sqrt{x^2+1}+\log(x+\sqrt{x^2+1})\right\}+C_2\\
&=\frac{1}{8}\biggl\{x(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\log(x+\sqrt{x^2+1})\biggr\}+C_2
\end{align}

となります。

$n=3$ とすると

漸化式を用いることで

\begin{align}
I_3(x)
&=\frac{1}{5}x^2(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\frac{2}{5}I_1(x)
\end{align}

となります。$I_{1}(x)$ は既に求めていたので、$C_3$ を積分定数とすると

\begin{align}
I_3(x)
&=\frac{1}{5}x^2(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-\frac{2}{15}(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C_3\\
&=\frac{1}{15}(3x^2-2)(x^2+1)\sqrt{x^2+1}+C_3
\end{align}

となります。